3阶方阵运算与行列式：填空、选择题解析

一、填空题部分 1. 根据行列式的性质，如果矩阵 \( A \) 的行列式为 \( |A| = 3 \)，那么 \( |2A - A^T| \) 可以通过展开计算得到。由于 \( |2A - A^T| = 2^3|A - A^{-1}A^T| = 8|A - A^TA| \)，而 \( A^TA \) 是一个对称矩阵，其行列式等于其迹（主对角线元素之和），即 \( |A^TA| = Tr(A^TA) = Tr(AA^T) = 3^2 = 9 \)。因此，\( |2A - A^T| = 8(3 - 9) = -48 \)。 2. 矩阵 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \) 的元素与 \( A \) 的代数余子式有关。已知 \( A \) 的第1行第2列的代数余子式 \( M_{12} = -6 \)，根据定义 \( A_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} \)，所以代入得到 \( a = \frac{A_{12}}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3 \)。 3. 对于 \( n \) 阶方阵 \( A \)，若 \( A^2 + 3A + 2I = O \)（其中 \( O \) 是零矩阵），我们可以将其改写为 \( (A+4I)(A-I) = -6I \)。两边同时取逆得到 \( (A-I)^{-1} = -(A+4I)^{-1} \cdot 6 \)，这意味着 \( (A-I)^{-1} = -\frac{1}{6}(A+4I) \)。 4. 由于 \( \alpha_1, \alpha_2 \) 线性无关，\( r(A) = 2 \)，齐次线性方程组 \( Ax = 0 \) 的基础解系含有一个解向量。由已知条件 \( \alpha_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2 \) 可构造出一个解 \( x = k(1, -2, 1)^T \)，因为 \( (1, -2, 1) \) 是该系统的特征向量对应的标量。 5. 由于 \( r(A) = 2 \) 和矩阵 \( A \) 的作用将向量 \( (1, 1, 2)^T \) 变成 \( (1, 2, 2)^T \)，而 \( (1, 0, -1)^T \) 变成 \( (1, 2, -2)^T \)，说明 \( A \) 有一个特征值为 1（对应于 \( \lambda_1 = 1 \)），另一个特征值为 2（对应于 \( \lambda_2 = 2 \)），而第三个特征值为 0（因为 \( |A| = 0 \) 表明至少有一个特征值为 0），所以 \( A \) 的特征值为 1, 2, 0。 6. 要判断矩阵 \( A \) 是否可对角化，需看其特征值是否唯一且非零。矩阵 \( A \) 的特征多项式 \( \lambda^3 - 2\lambda^2 + 0\lambda - a = \lambda^2(\lambda - 2) \) 显示有两个零特征值（\( \lambda = 0 \) 和 \( \lambda = 2 \)），但若要对角化，非零特征值的重数必须等于矩阵的秩 \( r(A) \)。题目表明 \( r(A) = 1 \)，这意味着 \( a = 0 \)，使得 \( A \) 只有两个线性无关的特征向量，满足对角化条件。 二、选择题部分 1. 选项 B 正确。矩阵乘法的性质 \( (A+B)^T = A^T + B^T \)，这是矩阵转置的结合律，其他选项不满足这个性质。 2. 由于没有给出完整的 \( A \) 矩阵，无法直接计算特征值。然而，通常对于选择题，可能需要考虑的是对角化条件，比如特征值是否都是唯一的，或者秩与特征值的关系。根据题目信息，需要进一步分析矩阵 \( A \) 的具体结构才能确定正确答案。