基于正六边形的Sierpinski地毯Packing测度计算

本文主要探讨了"基于正六边形的Sierpinski地毯的Packing测度"这一主题，由黄精华和肖加清两位作者在中国地质大学数学系和武汉理工大学理学院合作完成。Sierpinski地毯是一种自相似几何结构，最初由Tricot在1982年引入，其特点是通过复制和缩小基础形状来构建复杂的图形。在这个研究中，作者选择正六边形作为基本集，通过逐步缩小边长的比例（压缩比λ，满足0 < λ ≤ 1/6），构造了一种压缩比例为λ的Sierpinski地毯。 Packing测度是几何学中的一个重要概念，它衡量的是集合占据空间的密度。尽管Packing维数理论和计算已经取得了一些进展，但计算Packing测度通常是一个挑战。文中提到，尽管已有一些自相似集的Packing测度被计算，但对于这类基于正六边形的Sierpinski地毯，Packing测度的精确值是一个空白领域。黄精华和肖加清的研究填补了这一空白，他们利用自相似性原理，成功地确定了这种Sierpinski地毯的Packing测度。 文章的关键步骤包括初始时以大正六边形为基础，然后在每个顶点处插入小的正六边形，重复此过程直至无穷。这个过程形成了一个递归的结构，每一级的六边形数量呈指数增长。这些小正六边形构成了地毯的各个层次，每个层次的边长是前一级的λ倍。通过分析这种自相似性，作者得以计算出Packing测度的具体数值，并指出这个测度与地毯的Packing维数紧密相关，因为根据自相似集的性质，这两个维度是相等的。 文中还提到了几个重要的符号和概念，如Packing测度pEλ，Packing维数dim PEλ，以及Hausdorff测度和Hausdorff维数，这些都是衡量几何对象复杂度和填充空间效率的重要工具。通过计算这些量，研究人员能够深入理解Sierpinski地毯的空间结构和其在几何上的特性。 这篇文章不仅提供了基于正六边形Sierpinski地毯的构造方法，而且还揭示了其内在的几何规律和数学特性，这对 Packing 测度理论的发展做出了贡献，丰富了数学家们对于此类自相似集的深入理解。这项工作的成果对于进一步研究自相似几何、分形几何以及相关的数学物理学问题都有着重要的意义。