哥伦比亚大学机器人课程笔记：全局线性化在非线性系统中的应用

本笔记记录了在哥伦比亚大学机器人专业学习期间，关于非线性系统全局线性化方法的一个深入讨论，特别是通过李括号（Lie Bracket）进行分析的部分。李括号是数学中的一个概念，在动力学系统理论和控制理论中，用于描述两个向量场之间的局部关系，特别是在处理非线性系统时，它对于近似分析和控制算法设计至关重要。 非线性系统的全局线性化通常涉及到将非线性动态模型在某个点附近转换为线性模型，这有助于简化分析和设计过程。笔记中提到的关键概念包括： 1. **李括号 (Lie Bracket)**：它定义为两个向量场在特定点上的差异，通过计算它们对坐标的变化率的交叉乘积来量化。在机器人运动学或控制中，这可以用来描述在非平滑变换（如关节空间到笛卡尔空间的映射）中，旋转和移动之间的影响。 2. **状态空间表示**：使用矩阵形式来表达系统的状态变量及其导数，这是线性化过程的基础，便于进行雅可比矩阵的构造，它是全局线性化的核心。 3. **雅可比矩阵**：对于每个坐标系（如位置、速度和加速度），雅可比矩阵包含了对应变量之间的局部导数，这在局部坐标变换时是必要的，比如在路径规划或控制律设计中。 4. **局部坐标变换**：通过雅可比矩阵，可以从一个坐标系转换到另一个坐标系，这对于机器人运动学中的链接动力学分析尤其重要，比如在机器人关节空间和世界空间的转换中。 5. **动态方程线性化**：将非线性动态方程（如牛顿-欧拉方程或拉格朗日方程）在某一点展开并近似为线性形式，以便于数值模拟和控制算法的设计，如PID控制器的设置。 6. **积分环节与误差分析**：讨论了如何通过李括号和线性化处理系统的积分环节，这对于确定系统稳定性及避免积分风标效应（integral windup）有重要意义。 7. **系统稳定性和控制设计**：利用线性化后的系统模型，可以分析系统稳定性，并在此基础上设计控制器，如基于Lyapunov函数的方法来确保闭环系统的稳定性。 这些笔记内容涵盖了从理论概念到实际应用的深度，展示了在非线性机器人控制系统设计中全局线性化技术的实用性和关键作用。通过理解并掌握这些知识，学生能够更好地理解和处理复杂的机器人系统动态行为。