数理统计习题解析：平均数与方差的计算

"该资源包含了数理统计课程中汪荣鑫教授的部分习题解答，主要涉及抽样和抽样分布的概念及其应用。解答详尽，适用于学习和复习数理统计的学生或研究人员。" 数理统计是统计学的核心分支，它研究如何从随机样本中获取信息并以此推断总体的特征。在提供的习题解答中，我们可以看到以下几个关键知识点： 1. 子样平均数和子样方差的变换规则：习题1展示了当对原始数据进行线性变换时，子样平均数和方差也会相应变化的规律。具体来说，如果子样值x1, x2, ..., xn经过变换y1 = ax + c得到新的数据，那么子样平均数y的变换公式为y = a*x + c，而子样方差ys的变换公式为ys² = a² * xs²。这里的a和c是常数，xs和ys分别代表原数据和变换后数据的方差。 2. 抽样分布的应用：习题12给出了一个实际问题，通过五块田地的农作物亩产量数据，计算了子样平均数和子样方差。这个例子说明了如何在实际问题中计算样本统计量，并且使用了将数据标准化（减去平均值，除以标准差）的方法来简化计算。 3. 泊松分布的性质：习题3探讨了泊松分布的子样平均数的期望（均值）和方差。泊松分布常用于描述独立事件在固定时间或空间内发生的次数，其参数λ决定了事件发生的平均频率。题目中，求得子样平均数E(X) = λ，方差D(X) = λ，这体现了泊松分布的均值与方差相等的特性。 4. 均匀分布的统计特性：习题4考虑了在区间(-1,1)上均匀分布的随机变量子样的平均数的均值和方差。均匀分布表示每个值出现的概率相同。对于区间(-1,1)上的均匀分布，子样平均数的期望Ex = 0，方差Dx = (b - a)²/12，其中a和b是分布的边界。这里a = -1, b = 1，所以Dx = 2/3。 5. 正态分布的性质：习题5涉及到正态分布的子样，但没有给出具体数据，通常正态分布的子样平均数的分布会接近正态分布，且均值等于总体均值，方差等于总体方差除以样本大小n。这是中心极限定理的应用，它表明无论总体分布如何，大样本的样本均值都将近似于正态分布。 这些习题解答揭示了数理统计中的核心概念，包括抽样分布、统计量的计算、不同概率分布的性质以及它们在实际问题中的应用。理解并掌握这些知识点对于深入学习统计学以及进行数据分析至关重要。