分数阶偏微分方程的谱Galerkin方法研究

"分数阶偏微分方程的理论与应用" 本文主要探讨了分数阶偏微分方程（Fractional Partial Differential Equations, FPDEs）这一领域，重点在于求解分数阶微分方程的算法。论文作者对分数阶微积分的定义和特性进行了详尽的阐述，为后续的理论分析和数值方法奠定了基础。 在第一章“准备工作”中，作者首先介绍了分数阶微积分的基本概念，包括Caputo导数和Riemann-Liouville导数，以及它们与传统整数阶微积分的区别。此外，还讨论了分数阶微积分的一些基本性质，如线性性、可加性和连续性。同时，论文涉及了一些特殊矩阵，如Toeplitz矩阵和Hankel矩阵，这些矩阵在分数阶微分方程的数值解法中扮演着重要角色。 第二章“变系数守恒型空间分数阶扩散方程的保高精度谱Galerkin方法”深入研究了变系数的分数阶扩散方程。该章节首先引入了问题的背景，并利用Besov空间来描述模型。接着，作者回顾了现有的分数阶谱Galerkin方法，并对其进行了比较分析。然后，他提出了一种新的保高精度谱Galerkin方法，该方法旨在克服现有方法的局限性，提高解的精确度。通过一系列数值实验，包括常数和变量系数情况下的扩散项和右端项，验证了新方法的有效性和准确性。 第三章“二维稳态线性近场动力学模型的快速配置”则关注于二维线性模型的高效求解策略。这一章可能涉及到了快速傅里叶变换（FFT）等技术在解决分数阶方程中的应用，以提高计算速度和降低内存需求，特别是在处理大型问题时。 论文最后可能包含了结论和对未来研究的展望，讨论了这些方法在实际应用中的潜力，例如在物理、工程、金融等领域中的分数阶模型，以及如何进一步优化和扩展这些算法以适应更复杂的分数阶问题。 这篇博士学位论文对分数阶偏微分方程的理论研究和数值方法提供了深刻的洞见，对于理解和解决涉及分数阶微分方程的实际问题具有重要的参考价值。