修正非单调L-M算法:解决非线性方程组的高效全局收敛方法

本文档探讨的是"求解非线性方程组的一个修正非单调L-M算法"，发表于2013年7月的《福建师范大学学报（自然科学版）》第29卷第4期。作者何叶丹和马昌凤来自福建师范大学数学与计算机科学学院，他们针对非线性方程组求解问题提出了一个创新的修正Levenberg-Marquardt (L-M) 算法。L-M算法是一种经典的优化方法，用于最小化非线性目标函数，特别适用于带有噪声的数据拟合。 原始的L-M算法在迭代过程中通常采用单调搜索策略，即如果当前的试探步不被目标函数接受，算法会选择线性化的方法来调整步长。然而，这篇论文引入了一个非单调搜索准则，这意味着当常规步骤失败时，算法会偏离线性化路径进行更广泛的探索，寻找可能更好的解决方案。这种方法借鉴了信赖域方法的思想，通过动态调整信赖区域的大小来控制搜索的灵活性。 作者在论文中证明了在满足一定的假设条件下，这种修正的非单调L-M算法具有全局收敛性，意味着无论初始点如何选择，算法最终都会收敛到一个全局最优解。此外，他们还展示了算法在局部区域内的二次收敛特性，这意味着一旦接近最优解，搜索会迅速变得非常精确。 数值实验部分是研究的核心部分，通过实际计算案例，作者验证了该算法的有效性。结果显示，即使在非凸或具有复杂结构的非线性方程组中，修正的非单调L-M算法也能找到满意的解，并且在性能上超越了传统的单调L-M方法，特别是在处理难以收敛的问题时表现得更为稳健。 这篇论文不仅提升了L-M算法的求解能力，还在理论和实践上都为解决非线性方程组提供了新的视角和工具，对于数值分析和优化领域的研究人员来说，具有很高的参考价值。