多核微机上的Gram-Schmidt并行QR分解算法设计与性能

本文主要探讨了基于Gram-Schmidt正交法的矩阵并行QR分解算法在2013年的研究进展。Gram-Schmidt正交化是一种在数学中用于将线性无关向量组转化为正交基的方法，其核心思想是通过不断投影和归一化，使得新的向量与之前的正交向量之间保持正交关系。在数值代数中，矩阵的QR分解是一个关键步骤，它将任意矩阵分解为一个正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积（Q×R），这种分解有助于求解一系列问题，如特征值计算、最小二乘问题和病态线性方程组。 在多核架构的现代微机背景下，作者针对这一需求，设计了一种新的并行算法。该算法利用了多核处理器的优势，通过将Gram-Schmidt过程分解为多个独立的任务，每个核负责处理一部分向量，实现了矩阵分解的并行化。这种并行方法简化了编程复杂度，提高了计算效率，从而减少了总的计算时间。 相比于其他方法如Householder变换和Givens变换，尽管Gram-Schmidt正交化在计算次数上可能较多，但其并行版本能够有效地平衡负载，减少通信开销，使得算法在实际应用中显示出良好的并行性。文章通过数值实验验证了这一并行算法的有效性和性能优势，这对于在多核环境中提高矩阵运算的效率具有重要意义。 这篇论文不仅介绍了Gram-Schmidt正交化的基本原理，还展示了如何将其应用于多核并行计算环境中的矩阵QR分解，这为数值计算中的并行算法设计提供了一个有价值的研究方向。此外，它对于理解并优化多核系统上的计算密集型任务，特别是在处理大型矩阵时，具有实际的工程价值。