线性代数基础 - Jim Hefferon - 第四版

"《线性代数》是Jim Hefferon的第四版教材，主要涵盖了线性代数的基础知识和重要概念。这本书的在线版本可在http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra获取。书中使用的符号和定义包括：R、R+、R^n分别表示实数、正实数和n维实数向量；N和C代表自然数（包含0）和复数；(a..b)和[a..b]分别表示开区间和闭区间；序列用〈...〉表示；hi,j表示矩阵H的第i行第j列元素；V、W、U表示向量空间；~v、~0、~0V分别表示向量、零向量和向量空间V的零向量；Pn、Mn×m分别代表n次多项式空间和n×m矩阵空间；[S]表示集合的张量；以及En=⟨~e1,...,~en⟩作为R^n的标准基。此外，还有空间同构（V∼=W）、直和（M⊕N）、同态（h,g）、变换（t,s）、向量的B基表示（RepB(⃗v)）、线性映射的B,D基表示（RepB,D(h)）、零矩阵（Zn×m或Z,In×n）、单位矩阵（In或I）、矩阵的行列式（|T|）、映射的值域（R(h)）、核（N(h）以及广义值域和核（R∞(h),N∞(h)）等概念。" 《线性代数》是计算机科学领域基础且重要的学科，它主要研究向量、矩阵、线性方程组、线性空间、线性映射等对象的性质和相互关系。Jim Hefferon的这本书详细介绍了这些概念，并通过符号和定义来规范数学表达。 首先，向量空间V、W、U是线性代数的核心，它们由向量构成，具有加法和标量乘法的运算性质。零向量~0V是向量空间中的特殊元素，与任何向量相加都得到该向量自身，而~0表示零向量的一般形式。向量空间的直和M⊕N表示两个子空间的组合，其中每个子空间保持其线性结构。 矩阵是线性代数中另一个关键的概念，hi,j表示矩阵H的元素，矩阵的乘法和加法构成了线性映射的基础。线性映射（或称同态）h和g保留了向量空间的基本运算，而矩阵是实现线性映射的工具。RepB(⃗v)和RepB,D(h)分别是向量在特定基下的坐标表示和线性映射在不同基下的表示。 此外，线性代数中的标准基En=⟨~e1,...,~en⟩是R^n空间中的一组基，其中每个向量~ei是一个单位向量，它们在所有方向上形成一个坐标系统。同构（V∼=W）表明两个向量空间在结构上是相同的，可以互相映射而不改变其线性性质。 行列式|T|是矩阵的特性值，它可以反映矩阵的逆、秩和奇偶性。映射的值域R(h)和核N(h)是线性映射的图像和原像，而广义值域和核R∞(h),N∞(h)则涉及到线性映射的更广泛的概念。 最后，希腊字母在数学中广泛用于表示变量和特定概念，例如α（阿尔法）、ν（纽）、β（贝塔）、ξ（ksi）、γ（伽马）、ο（奥米克龙）、δ（德尔塔）、π（派）等，它们在矩阵、向量和其他线性代数结构中扮演着重要角色。