前馈与反向传播：单层神经网络的关键步骤与梯度下降优化

在深度学习中，前馈神经网络是一个关键概念，它是一种基本的结构，其中信息沿着网络单向传递，不形成循环。当我们处理单隐藏层的神经网络时，主要涉及两个关键步骤：前馈计算和反向传播优化。 前馈计算 首先，前馈阶段包括计算隐藏层的值。输入数据通过与权重矩阵W1相乘（这里的矩阵表示连接输入层与隐藏层之间的连接），得到隐藏层向量h。每个元素h_j 可以用以下公式表示： \[ h_j = \sum_{i=1}^{n} W_{ij} \cdot x_i \] 这里的\( W_{ij} \) 是权重值，\( n \) 是输入神经元的数量，\( x_i \) 是输入向量的第i个元素，而\( h_j \) 是隐藏层第j个神经元的输出。激活函数如双曲正切、Sigmoid或ReLU被用来非线性地转换这些值，以便更好地捕捉复杂的关系。 误差函数与反向传播 接着，我们用一个合适的误差函数（如均方误差MSE或交叉熵）来评估模型的预测输出与实际标签之间的差距。在反向传播中，从输出层开始，计算每个节点的梯度，这是为了确定如何调整权重以减小误差。对于单个隐藏层，误差会逐层逆向传播到输入层。 对于任意层k，权重更新遵循梯度下降法则，其基本形式是： \[ W_{kj}^{(new)} = W_{kj}^{(old)} - \alpha \cdot \frac{\partial E}{\partial W_{kj}} \] 其中，\( W_{kj}^{(new)} \) 是更新后的权重，\( \alpha \) 是学习率（一个小于1的正数），\( E \) 是误差函数，而\( \frac{\partial E}{\partial W_{kj}} \) 是梯度，表示权重变化对误差的影响。 梯度下降 梯度下降算法用于计算每个权重的最优更新方向。它通过迭代的方式调整权重，使得每一步都沿着使误差下降最快的方向前进。在反向传播过程中，我们会计算每一层的偏导数，然后根据学习率调整，直到网络的误差达到最小或满足预设停止条件。 总结来说，前馈神经网络的核心在于其前馈和反向传播的过程，它们共同作用于权重的优化，使得网络能够逐渐适应输入数据并进行准确的预测。通过理解这两个步骤，我们可以深入掌握神经网络的基本训练机制，并应用于各种实际问题中。