动态规划与状态转移在最短路径问题中的应用

"状态转移-动态规划课件、DP" 动态规划是一种强大的算法技术，用于解决最优化问题，尤其在处理具有重叠子问题和最优子结构特征的问题时非常有效。该方法通过存储和重用之前计算过的子问题解决方案来避免重复计算，从而提高效率。在动态规划中，我们通常会定义一个状态，并根据这个状态构建一个状态转移方程，这个方程描述了如何从一个状态转移到另一个状态。 在这个特定的课件中，讨论的核心是状态转移在求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）问题上的应用。在LIS问题中，给定一个序列，目标是找到序列中最长的非降序子序列。 变量定义如下： - `a[i]` 表示数列中的第i个元素。 - `f[i]` 表示以`a[i]`结尾的最长递增子序列的长度。 边界条件是 `f[0]=0`，这意味着对于空序列，最长递增子序列的长度为0。原问题是要找到整个序列的最大`f[i]`，即最长递增子序列的长度。 状态转移方程是： `f[i]=max{f[k]}+1 (0<=k<i, a[i]>a[k] | k=0)` 这个方程说明了当前状态`f[i]`的值是基于所有小于`i`且元素小于`a[i]`的子序列的`f[k]`的最大值加1。如果不存在这样的`k`，那么`f[i]`保持不变，因为无法找到比`a[i]`小的前驱元素来构成更长的递增子序列。 动态规划的基本思想是分治策略，将大问题分解成若干小问题，然后逐个解决，最后组合这些小问题的解得到大问题的解。使用动态规划解决问题的条件通常包括问题的最优子结构（即问题的最优解可以通过子问题的最优解推导得出）和无后效性（即当前状态的决策不会影响过去的状态）。 建立动态规划模型的步骤包括： 1. **定义状态**：确定问题的关键变量，用来表示问题在不同阶段的中间结果。 2. **定义决策**：分析问题的决策过程，找出可能的决策及其影响。 3. **设计状态转移方程**：根据决策关系，建立从一个状态到下一个状态的转移方程。 4. **确定初始条件**：定义问题的起始状态，通常是问题的最小规模或最简单形式。 5. **构造解答**：根据状态转移方程和初始条件，自底向上或自顶向下地计算出所有状态的解，最后从这些解中得出原问题的最优解。 课件中还提到了动态规划与其他算法的联系，如它与贪心算法和回溯法的区别。贪心算法在每一步都做出局部最优决策，而不管这些决策是否会导致全局最优解；回溯法则是在探索过程中遇到无效选择时回退，尝试其他分支。相比之下，动态规划通过系统性地存储和利用之前计算的信息来确保全局最优解。 总结起来，动态规划是一种重要的算法工具，广泛应用于计算机科学和工程领域，如图论、最短路径问题、背包问题、字符串匹配等。通过理解和掌握动态规划，我们可以高效地解决许多复杂问题，节省计算时间和空间。