最优不动点存在性研究：链上单调函数分析

"这篇文章是1983年发表在《数学研究与评论》期刊上的一个自然科学论文，由王体和陈康燕共同撰写。主要探讨了线序集合（链）上单调函数的不动点存在性问题，特别是最优不动点的存在性，并给出了相关定理和例子。" 在该论文中，作者首先引入了几个关键概念，包括： 1. **偏序集合（Poset S）**：这是一个集合S，其中定义了一个部分顺序关系ζ，即一个既不反对称也不传递的关系。 2. **线序集合（Chain）**：偏序集合的特殊情况，其中任何两个元素要么相等要么具有明确的大小关系，即没有相等但不互为上下界的元素。 3. **上确界和下确界**：集合S的上确界(lub(S))是最小的上界，而下确界(glb(S))是最大的下界。 4. **完备链偏序集合**：具有任意非空子集都有上确界和下确界的链。 5. **有界并偏序集合**：所有元素都有上界和下界的集合。 6. **相容的元**：在偏序集合中，如果两个元素没有共同的上界或下界，那么它们是相容的。 7. **下半格的偏序集合**：集合中每个元素都有下确界的偏序集合。 8. **链与其子链共尾和共源**：如果链C的每个元素都是另一个链D的上界或下界，则C和D共尾或共源。 9. **单调函数**：在偏序集合上，如果函数保持顺序关系，即对于所有x <= y，都有f(x) <= f(y)，则称为单调函数。 10. **不动点**：对于函数f，如果x满足f(x) = x，那么x是f的不动点。所有不动点的集合记为FIX(f)；相容的不动点集合记为FIXC(f)；最优不动点记为opt(f)，即满足某种优化条件的不动点。 关键定理是Tarski的基本定理，它指出对于一个完备链偏序集合D上的单调函数f，FIX(f)非空且有最小元。证明依赖于超限归纳法。 随后，作者讨论了在链（线序集合）上不动点存在的条件。引理1表明，如果链无最大元，则存在一个严格升的超限序列，反之亦然。引理2证明了链c上任一单调函数f都有非空的不动点集FIX(f)的充要条件是c为完备链。 论文的这部分内容为后续的最优不动点存在性定理和相关应用奠定了基础。作者通过这些理论分析和证明，回应了J.H.Gallier在另一篇文章中提出的问题，给出了一个否定的答案。这展示了在特定偏序集合结构下的最优不动点问题的研究深度和实用性。