考研线代精华：行列式定义与展开定理

"考研线性代数复习笔记Markdown格式" 线性代数是数学的一个重要分支，对于考研的学生来说，理解和掌握线性代数的基本概念、定理和方法至关重要。以下是对线性代数中行列式部分的详细总结： ### 行列式 行列式是线性代数中的基本概念之一，它能够表示由一组向量构成的平行体的体积。在矩阵理论中，行列式可以用来判断方阵是否可逆，以及计算逆矩阵的元素。 #### 定义 行列式的逆序法定义涉及排列和逆序的概念。在排列$i_1i_2...i_n$中，如果$i_s$出现在$i_t$之前，且$i_s > i_t$，那么这两个数构成一个逆序。逆序数是排列中逆序的总数，记作$\tau(i_1i_2...i_n)$。根据逆序数的奇偶性，排列分为奇排列（逆序数为奇数）和偶排列（逆序数为偶数）。 一个$n$阶行列式是由$n$个$n$维向量组成的，其定义为： $$ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}a_{nj_n} $$ 其中，$\sum$表示对所有可能的子序列$j_1, j_2, ..., j_n$求和，且$(-1)^{\tau(j_1j_2j_n)}$表示逆序数为奇数时取-1，否则取1。 #### 展开定理 行列式可以通过余子式进行展开。余子式是去掉某一行和某一列后得到的子矩阵。代数余子式$A_{ij}$是余子式$M_{ij}$乘以$(-1)^{i+j}$。行列式可以按任意一行或一列展开，公式如下： $$ |A|=\begin{cases} a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}\\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}\\ \end{cases} $$ #### 行列式的性质 1. **倒置**：行列式与其转置矩阵的行列式相等，即$|A|=|A^T|$。 2. **零元素**：如果行列式中某一行（列）的所有元素都是零，那么该行列式值为零。 3. **等比例**：如果行列式中的两行（列）成比例，那么行列式的值也为零。 4. **线性关系**：如果两行（列）之间存在线性关系，行列式值为零。 行列式的性质是解决线性代数问题的重要工具，例如在求解线性方程组、判断矩阵可逆性、计算特征值和特征向量等方面都有广泛应用。 在考研复习中，深入理解并熟练运用这些概念和性质是至关重要的。通过大量的练习和应用，可以更好地掌握线性代数的核心内容，为考试做好充分准备。