数字信号处理习题解答：差分方程与傅里叶变换

"数字信号处理课后答案包含部分习题解答，主要涉及线性常系数差分方程和系统的频率响应分析，以及傅里叶变换的应用。" 在数字信号处理领域，线性常系数差分方程（LCDE）是描述系统动态行为的重要工具。题目中的LCDE是： 1 1 1 1 2 2 yn yn xn xn = − + + − （a）要找到系统的单位取样响应hn(n)，我们可以利用Z变换来解决。将Z变换定义为： 1 1 1 1 2 2 ) ( ) 1 1 1 1 2 2 z z a H Z z z − − += =− + − 由于系统是因果的，Z变换的收敛域必须包含单位圆。由此我们得到hn(n)的Z变换H(z)，然后通过逆Z变换找到hn(n)。 （b）对于输入信号() jn xn eω = ，利用卷积性质，系统的响应yn(n)可以通过单位取样响应hn(n)与输入信号卷积得到： 1 1 1 1 2 2 j n n j n n j n j b yn xn hn n e e e e ω ω ω ω δ + ⎛ ⎞= ∗ = ∗ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − =− + − （c）系统的频率响应H(e^(jω))是单位圆上的Z变换H(z)在z=e^(jω)处的值。它提供了系统对不同频率输入的幅度和相位响应： 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) j j z e j j e H e H z e H e e ω ω ω ω ϕ ω = + = = − =其中 ( j He ) ω 为幅频特性，() ϕω为相频特性，表示系统对某一频率的相位延迟。 （d）当输入为() cos2 4 xn n π π ⎛ = + ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟时，应用卷积性质和已知的频率响应，可以计算出系统的响应yn(n)： 5/4 cos ) ( ) 5/4 cos sin sin arctan( )-arctan( ) cos 1/2 cos 1/2 j d Heω ω ω ω ω ϕω ω ω += − ()= + − 傅里叶变换在序列分析中也扮演着关键角色。例如： （a）序列() 3 xn n δ = −的傅里叶变换是其Z变换在z=1处的值，即X(e^(jω)) = 3δ(ω - 0)。 （b）序列() ( ) () ( ) 1 1 () 1 1 2 2 xn n n n δ δ δ = + + + −的傅里叶变换可以通过分别对每个δ函数进行傅里叶变换然后求和得到。 （c）对于() () 0<a<1 n xn aun =，傅里叶变换可以利用狄利克雷级数展开进行计算。 （d）最后，() ( 3) ( 4 xn un un = + −的傅里叶变换涉及到序列的线性组合，同样需要应用傅里叶变换的线性性质。 以上解答涵盖了数字信号处理中的关键概念，包括线性常系数差分方程的解、频率响应的计算以及傅里叶变换在序列分析中的应用。这些知识点是理解和设计数字信号处理系统的基础。