最短路径算法深度解析：Bellman-Ford与SPFA

本资源是一份关于最短路径算法进阶的详细讲解文档，主要聚焦于贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）和其优化版本，以及如何处理带有负权边的情况。文档首先回顾了三种常见的最短路径算法，其中重点介绍了贝尔曼-福特算法，其核心代码展示了如何通过两次嵌套循环来迭代地更新每个节点的最短路径估计值。 在贝尔曼-福特算法中，外层循环执行n-1次，这是因为可能存在n-1次的路径松弛过程，确保找到所有可能的最短路径。内层循环遍历每条边，对每一条边进行松弛操作，如果当前路径比已知的最短路径更短，就更新目标节点的最短距离。同时，文档提到了队列优化版的SPFA（Shortest Path Faster Algorithm），它使用队列存储待处理的节点，每次从队列中取出节点并检查其相邻节点是否能进一步缩短路径，这种策略减少了不必要的计算。 负环处理是贝尔曼-福特算法的一个关键特性。算法会在更新过程中记录每个节点被松弛的次数，称为cx数组。如果某个节点cx达到n，说明存在负权重的环路，因为理论上所有节点最多被松弛n-1次。在这种情况下，算法会报告-1作为最短路径，表示无法确定是否存在实际的最短路径。 针对题目"2898带负权图的最短路径"，文档提供了一个C++代码实现，用于解决从起点1到其他节点的最短路径问题。输入包括节点数量n和边的数量m，以及每条边的起始点、终点和权重。输出是每个节点到起点1的最短距离，如果存在负环则返回-1。 总结来说，这份文档详细介绍了最短路径算法在有负权边情况下的处理策略，并通过实例演示了如何使用贝尔曼-福特算法以及其优化版本来解决此类问题，这对于理解和应用这类算法在实际场景中的关键性非常有价值。