Coq 形式化证明入门：induction 练习解答

"这篇资料是关于Coq证明助手的归纳法（induction）练习，主要针对初学者，难度等级为1至2星。内容包括定义了一些Tactic Notation，如`assert_eq`、`Case`、`SCase`等，以及一个名为`andb_true_elim2`的练习题目，要求证明`andb_true_elim2`的性质，同时指导如何通过`destruct`来处理不同情况。" 在Coq证明系统中，归纳法（induction）是一种基本的证明策略，用于证明与自然数或递归定义的数据类型相关的属性。在Coq中，我们可以对自然数进行归纳，也可以对用户自定义的递归数据类型进行归纳。这个练习文件中的`andb_true_elim2`题目很可能是关于布尔逻辑中`andb`函数的一个性质，`andb`通常接受两个布尔值作为输入并返回它们的逻辑与。 `Ltac`是Coq中的元战术（meta-tactic），它允许我们定义自己的战术。`move_to_topx`战术将假设（Hypothesis）`x`移动到目标列表的顶部，这有助于在证明过程中管理假设的顺序。`assert_eq`战术则用于断言一个表达式等于另一个，并通过反射性（reflexivity）自动证明它们相等，这是一种常见的简单证明方法。 `Case`系列战术是为了解构（destruct）构造体，例如在处理`if`语句或`match`表达式时。这里定义了从`Case`到`SSSSSSSCase`的一系列战术，用于处理不同数量的子情况。例如，当你解构一个枚举类型时，可能需要处理多个不同的分支。这些战术简化了为每个分支创建新案例的过程。 `andb_true_elim2`的证明可能涉及对布尔值的`andb`运算的性质进行分析，比如当`andb`的结果为`true`时，其输入必定都为`true`。在证明过程中，我们需要使用`destruct`战术来分别考虑`andb`的两个输入的真假情况。根据题目描述，我们需要标记和处理不同的案例（cases and subcases），这通常是通过`destruct`、`Case`等相关战术来完成的。 在解决此类练习时，理解Coq的逻辑基础和战术的用法至关重要。首先，需要明确要证明的命题，然后分析命题的结构，确定合适的归纳步骤。对于`andb_true_elim2`，这可能涉及到对布尔表达式的结构进行分解，使用`destruct`来解构`andb`表达式，然后在每个分支上应用归纳假设。最后，使用`assert_eq`或其他战术来完成每个分支的证明，并使用`exact`或`reflexivity`来结束证明。 这个练习旨在帮助学习者掌握Coq中的基本证明技巧，特别是使用归纳法和解构战术来处理逻辑命题。通过这样的练习，可以增强对Coq证明过程的理解，为后续更复杂的证明打下坚实的基础。