矩阵论课后习题解析：线性空间、秩与零空间

"杨明教授编写的《矩阵论》课程，由华中科技大学出版社出版，包含课后习题答案。主要涉及矩阵论的基础概念和问题解答，包括线性空间的性质、矩阵的秩、线性相关性、子空间判定、向量空间的基与维数、线性变换等方面。" 1. 线性空间的概念：线性空间是数学中一个基本的概念，它是一组元素（比如向量）组成的集合，这个集合在加法和数乘运算下具有特定的性质，如封闭性、结合律、存在零元和单位元等。题目中提到了R上的线性空间，这里的R指的是实数集。 2. 矩阵的运算：矩阵可以进行加法和数乘运算，这两个运算是线性代数中矩阵的基本操作。在题目中，某些集合对这些运算不构成线性空间，例如（3）中数乘不满足封闭性，（4）中数乘不满足封闭性和结合律。 3. 线性空间的维数与基：线性空间的维数是其基向量的数量，基是能够生成整个空间的最小线性无关向量组。在习题中，求解了线性空间的维数并给出了基的例子。 4. 子空间的性质与判定：子空间是线性空间的子集，它本身也是一个线性空间。题目中讨论了子空间的判定，例如（1）和（2）不是子空间，因为它们不满足加法封闭或没有零元，而（3）和（4）是子空间。 5. 矩阵的秩与列空间、零空间：矩阵的秩是其列向量组的最大线性无关向量数，列空间是由矩阵的所有列向量生成的子空间，零空间是所有被矩阵映射为零的向量的集合。例如，通过化简矩阵找到其列空间和零空间的基。 6. 线性相关性：当一组向量可以由另一组更小的向量线性表示时，我们说原向量组是线性相关的。在问题5中，向量组P1, P2, P3线性相关，因为它们的增广矩阵的秩小于向量的数量。 7. 过渡矩阵与坐标变换：在不同基之间转换向量时，需要过渡矩阵。问题9中求解了从一组基到另一组基的过渡矩阵，并计算了向量在新基下的坐标。 8. 矩阵空间与子空间的维数：在矩阵空间中，子空间的维数可以通过分析其元素的性质来确定。例如，问题11中求解了特定条件下的子空间的维数。 9. 线性组合与线性方程组：线性组合是向量的加权和，线性方程组可以通过增广矩阵和高斯消元法来求解。在问题10中，通过线性方程组求解了向量的线性组合。 这些习题涵盖了矩阵论的核心概念，包括线性空间的性质、矩阵运算、子空间判定、向量空间的维数和基、线性相关性、秩、零空间、过渡矩阵以及线性方程组的解法。通过解答这些习题，学生可以深入理解并掌握矩阵论的基础知识。