IIR数字滤波器设计：Butterworth与Chebyshev滤波器的双线性变换法实现

"IIR数字滤波器设计涉及模拟滤波器转换，主要方法包括Butterworth和Chebyshev滤波器设计，以及使用双线性变换法。实验目标在于理解和实现IIR滤波器设计，特别是通过编程实现滤波器的特性。" IIR（无限 impulse response）数字滤波器设计是信号处理中的关键步骤，通常基于已有的模拟滤波器进行转换。设计过程主要包括三个步骤： 1. 确定数字滤波器的性能指标：例如，给定的Butterworth低通滤波器指标为Wp=0.2π，Rp=1dB，Wst=0.3π，As=15dB。这些参数定义了滤波器的通带边界、通带增益、过渡带宽度和阻带衰减。 2. 设计模拟滤波器：根据性能指标，设计对应的模拟滤波器系统函数H(S)。Butterworth滤波器具有平坦的通带和渐近线性滚降的阻带，而Chebyshev滤波器允许在阻带内有更大的波动以换取更陡峭的边沿。 3. 应用变换到数字滤波器：采用双线性变换法或脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器。双线性变换法通过S→Z映射保持稳定性和频率响应的线性关系，且能避免混叠问题。脉冲响应不变法则保持模拟滤波器的脉冲响应在采样间隔上的精确值。 在MATLAB中实现这一设计过程，可以使用内置的滤波器设计函数，如`butter`用于Butterworth滤波器和`cheb1ap`或`cheb2ap`用于Chebyshev滤波器。例如，设计一个Butterworth低通滤波器的MATLAB代码可能如下： ```matlab Wp = 0.2*pi; % 通带截止角频率 Rp = 1; % 通带最大增益 Wst = 0.3*pi; % 阻带开始角频率 As = 15; % 阻带最小衰减 [b,a] = butter(N,Wp/Wst,'low'); % N为滤波器阶数，Wp/Wst标准化角频率 ``` 对于Chebyshev滤波器，可以使用类似的方法： ```matlab Wp = 0.2*pi; % 通带截止角频率 Rp = 1; % 通带最大增益 Wst = 0.3*pi; % 阻带开始角频率 As = 15; % 阻带最小衰减 [b,a] = cheb1ap(N,Wp/Wst,Rp); % 对于Chebyshev I型滤波器 % [b,a] = cheb2ap(N,Wp/Wst,As); % 对于Chebyshev II型滤波器 ``` 实验的目的是通过实际操作加深对滤波器设计的理解，包括双线性变换法和脉冲响应不变法的原理和特点，以及不同滤波器类型的频率特性。通过编程实现，实验者可以观察并分析滤波器的频域响应，从而更好地掌握这些滤波器设计方法。