多元积分简化技巧：退化变换与坐标平移

"简化多元积分计算的两个命题 (2010年)" 这篇2010年的论文出自《西南民族大学学报·自然科学版》，由熊明撰写，主要探讨了如何通过特定的变换简化多元积分的计算。论文提出了两个关键命题，一个是多元积分可以直接转化为单积分，另一个是平移坐标系不会改变多元积分的值。 首先，论文指出在处理多元积分时，可以采用适当的变换，如退化、平移、线性或非退化的非线性变换，来改造被积函数或表达式，以此简化计算过程。这与传统的极坐标或球坐标转换不同，后者通常涉及非退化的非线性变换，而参数法用于曲线和曲面积分的计算则涉及退化变换。 第一个命题是关于将多元积分直接转化为单积分。如果有一个n元复合函数\( f(x_1, x_2, ..., x_n) \)，其中\( G(x_1, x_2, ..., x_n) \)是其对应的原函数，那么在n维区域E上，如果存在一个变换\( g(t) = (x_1(t), x_2(t), ..., x_n(t)) \)，使得\( t \)的取值范围从\( a \)到\( b \)，并且E的区域元素可以表示为\( t \)的一元微分\( dt \)，或者E的测度可以表示为\( t \)的一元函数\( \varphi(t) \)，那么这个n元积分可以转换为单积分形式： \[ \int_{a}^{b} \varphi'(t) f(g(t)) \, dt \] 这个命题利用了“几何求导法”或“积分求导法”，通过找到一个合适的变换将复杂的多元积分转化为更简单的单变量积分。 第二个命题涉及到坐标系的平移。它提出，即使我们平移了直角坐标系，多元积分的值并不会改变。这意味着积分的性质是坐标系无关的，只要积分区域和被积函数在变换后保持相同的形式，积分的结果就保持不变。 这两个命题对于实际计算中遇到的复杂多元积分问题提供了理论依据和简化策略，有助于提高计算效率。通过这样的变换，我们可以避免直接在高维空间中进行复杂的积分运算，转而解决一维问题，这在数学分析和工程应用中具有重要的实践价值。