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磁 寣
收稿日期 :2008 - 11 - 08
作者简介 : .张娜(1983 — ) ,女 ,河南人 ,硕士研究生 ,主要从事矩阵和统计线性模型研究 .
矩 阵 特 征 值 的 新 扰 动 界
磁
张 娜
1
,宋丽娟
2
(1 .重庆大学 ,重庆 400030 ;2 .第三军医大学 数学教研室 ,重庆 400030)
摘要 :在早期 Hermitetian 正定矩阵的研究结果的基础上 ,结合群逆和矩阵的分块 ,分析了 Hermitian
半正定矩阵的 Weyl 型相对扰动界 ,给出了相应的结果 ,从而得到一类矩阵特征值的新的扰动界 .
关 键 词 :谱范数 ;群逆 ;扰动
中图分类号 :O241 .6 文献标识码 :A 文章编号 :1671 - 0924(2009)02 -0082 - 04
A New Perturbation Bound for the Eigenvalues of
a Positive Semi_definite Matrix
ZHANG Na
1
,SONG Li_juan
2
(1 .Chongqing University ,Chongqing 400030 ,China ;2 .Third Military Medical University ,Chongqing 400030 ,China)
Abstract :Based on the early research on Hermitetian positive definite matrix and combined with the group
inverse and block matrix ,this paper analyzes Weyl_type relative perturbation bound of Hermitetian positive
semi_definite matrices and presents the responding results .So the new perturbation bounds of eigenvalues
of a kind of matrix are obtained .
Key words :spectrum norm ;group inverse ;perturbation
本 研 究 中 :符 号 C
2
表 示 矩 阵 的 谱 范 数 ;C
H
表 示 矩 阵 C 的 共 轭 转 置 ; I 表 示 单 位 矩 阵 ;
diag
γ
1
,
γ
2
,… ,
γ
n
表示对角元为
γ
1
,
γ
2
,… ,
γ
n
的对角矩阵 .
设 A 是一个方阵 ,A + E 是它的扰动矩阵 ,
λ
是 A 的特征值 ,
珋
λ
是 A + E 的特征值 .关于特征值的传统
误差界是估计
λ
-
珋
λ
的上界 ,有 3 种类型 ,其中 Weyl 型扰动界是用谱范数来界定所有的矩阵与其扰动
矩阵的第 i 个特征值之间距离的最大者 ,即 max
λ
i
-
珋
λ
i
,其中矩阵的特征值按非减的顺序排列
[1 - 4]
.
对于 Hermitian 正定矩阵的 Weyl 型的相对扰动界 ,有下述结果
[1]
:设 A 和 B = A + E 为 n 阶正定的
Hermitian 矩阵 ,则
max
1
≤
i
≤
n
λ
i
-
珋
λ
i
λ
i
≤
‖ A
-
1/2
EA
-
1/2
‖
2
(1)
本研究将结合群逆研究 Hermitian 半正定矩阵的 Weyl 型相对扰动界 ,也即是将式(1)推广到 Hermitian
半正定矩阵 .
下面简单介绍一些群逆的定义及相关知识 .对矩阵 A ,若 Ind A = 1 ,且 rank A = r ,则存在非奇异
第 23 墘卷 第 2 期
Vol .23 No .2
重 庆 工 学 院 学 报(自然科学)
Journal of Chongqing Institute of Technology(Natural Science)
2009 拻年 2 月
Feb .2009