SVM基础：硬间隔与对偶优化在支持向量机中的应用

支持向量机(SVM)是监督学习领域的一种强大工具，尤其在二分类问题中表现出色。它的核心思想是寻找一个能够最大化类别间距离的超平面，以实现最佳的分类效果。SVM的关键概念包括： 1. 间隔与支持向量： - 间隔（Margin）是指两类样本点到超平面的最短距离，它是SVM优化的目标，通常希望间隔越大，泛化能力越强。 - 支持向量（Support Vector）指的是那些距离超平面最近的样本点，它们决定了超平面的位置和模型的鲁棒性。 2. 决策边界： - 超平面是二分类的决策边界，它被设计用来最大化类别间的分离，确保新数据的分类准确性。 3. 优化问题： - SVM原始问题是一个凸二次规划问题，但通常通过转化为对偶问题来求解，这是因为对偶问题通常更容易处理，且能找到全局最优解。对偶问题的优化涉及到拉格朗日乘子和KKT条件，即Karush-Kuhn-Tucker条件，这些条件是找到全局最优解的重要准则。 4. 核技巧（Kernel Trick）： - 当数据线性不可分时，SVM利用核函数将低维数据映射到高维特征空间，使得原本线性不可分的数据在更高维度下变得线性可分。常用的核函数如线性核、多项式核、径向基函数（RBF）核等，确保模型能够在非线性数据上有效工作。 5. 硬间隔与软间隔： - 硬间隔SVM严格要求所有样本点到超平面的距离大于等于间隔的一半，可能导致过拟合。而软间隔SVM引入松弛变量，允许部分样本点距离超平面稍小，从而提高模型的泛化性能。 支持向量机通过巧妙地处理间隔最大化问题和利用核技巧，提供了一种有效的二分类模型，特别适用于小样本、非线性和高维数据集。理解和掌握这些核心概念和技术对于实际应用SVM至关重要。