数理统计期末考试选择题解析

"数理统计期末考试题及答案" 这部分内容包含了数理统计课程的一些常见考试题目，涉及了统计学中的多项核心概念，如统计量、分布、估计与检验等。下面将逐一解析这些题目所涵盖的知识点： 1. 题目1涉及到统计量的概念。统计量是不依赖于未知参数且由样本数据直接计算得到的量。选项A中的$X_1 - E(X_1)$是样本值减去其期望，但期望E($X_1$)通常依赖于未知参数$a$；选项B中的$X_n - a$同样与未知参数$a$有关；选项C中的$\bar{X} - Var(\bar{X})$是样本均值减去样本均值的方差，而样本均值的方差也是统计量，但整个表达式并不是统计量。因此，正确答案是D。 2. 题目2考察了$t$分布与$\chi^2$分布的关系。当随机变量$X$服从$t$分布，即$X \sim t(n)$，其中$n>1$，而$Y = \frac{1}{X^2}$则会服从自由度为$n-1$的$\chi^2$分布，即$Y \sim \chi^2(n-1)$。所以正确答案是B。 3. 题目3考察了正态分布样本的性质。对于来自正态总体$N(0,1)$的样本$X_1, X_2, \dots, X_n$，样本均值$\bar{X}$和样本方差$S^2$有特定的分布特性。选项A中，$n\bar{X}$并不是标准正态分布；选项B中，$(n-1)S^2$服从自由度为$n-1$的$\chi^2$分布；选项C中，$(n-1)\bar{X}/S$服从$t$分布，自由度为$n-1$；选项D中的表达式$(n-1)X^2_1/(n\sum_{i=2}^{n}X^2_i)$并不符合常见的统计量分布。正确答案是C。 4. 题目4涉及正态总体方差的估计。$X^2_n$是样本方差的平方，不是方差的无偏估计；选项B中的$X^2_n$是方差的偏估计；选项C中的$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$是方差的极大似然估计，而非无偏估计；选项D中的$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X^2_i$是方差的无偏估计。正确答案是D。 5. 题目5考察均匀分布的参数估计。$X_{(n)}$是样本的最大值，它是$\theta$的矩估计和最大似然估计，但并不一定是相合估计，而且其某个函数可能是$\theta$的UMVUE（无偏且一致最小方差估计）。选项A和B正确，选项C错误，选项D正确但不全面。答案是A和D。 6. 题目6关于枢轴量的描述，枢轴量是既依赖于样本也依赖于参数的统计量，它可以是统计量，但其分布通常不完全依赖于未知参数。所以，选项A、B和D都是正确的。 7. 题目7涉及假设检验中的错误类型。犯第一类错误是指拒绝实际上为真的原假设（错误地拒绝$H_0$），其概率不超过显著性水平$\alpha$；犯第二类错误是指接受实际上为假的原假设（错误地接受$H_0$）。检验结果可能只犯一种错误，也可能两种都犯，但不会同时发生。选项A和B错误，C正确，D错误。答案是C。 8. 题目8中，犯第二类错误是指$H_0$为真时接受了$H_1$，即未能检测出真实存在的差异。答案是A。 9. 题目9是关于单因子方差分析（ANOVA）中因子显著性检验的统计量。检验统计量通常为F统计量，即$F = MS_B / MS_W$，其中$MS_B$是组间均方误差，$MS_W$是组内均方误差。选项C正确，它给出了$F$统计量的定义。 10. 题目10中，一元线性回归模型的显著性检验通常使用$F$统计量或$t$统计量。如果$p$值小于显著性水平$\alpha$，则拒绝原假设，意味着模型在$\alpha$水平上显著。题目中$p=0.02<0.05=\alpha$，所以模型是显著的。 以上是数理统计考试题目的解析，涵盖了统计推断、参数估计、假设检验、分布性质等多个重要知识点。学习这些内容有助于深入理解统计学原理及其在实际问题中的应用。