n维单形：中面与二面角平分面的几何不等式研究

"这篇论文是关于n维单形几何不等式的探讨，主要研究了n维单形中面和二面角平分面的面积与单形外接半径之间的关系，作者通过几何不等式理论和解析方法，建立了两个新的几何不等式，并运用这些不等式改进了传统的n维Euler不等式。该论文发表于2004年的《河南科技大学学报（自然科学版）》第25卷第2期，由杨世国撰写，涉及的学科领域是自然科学，具体为数学几何。" 正文: 在n维欧氏空间E^n中，单形是一种特殊的多面体，它由n个共面的顶点通过直线连接构成。这篇论文关注的是n维单形的几何性质，特别是中面和二面角平分面的特性。中面是连接单形同一侧棱的中点所形成的n-1维单形，而二面角平分面则是将两个相邻侧面的二面角平分的面。 杨世国在研究中引入了单形的外接球半径R和内切球半径r，这两个参数对于理解单形的几何结构至关重要。外接球半径是单形所有顶点到同一个球心的最大距离，而内切球半径是单形内切于一个球时，球的半径。作者发现，这两个半径与单形的中面面积和二面角平分面面积有着密切的联系。 通过对几何不等式的研究，杨世国建立了一组新的不等式，这些不等式描述了单形的外接球半径R与所有中面面积之积以及所有二面角平分面面积之积的关系。这些不等式为理解和分析n维单形提供了新的工具，同时也改进了n维Euler不等式，Euler不等式是多面体几何中的基本定理，通常涉及到多面体的顶点数、边数和面数的关系。 引理1是论文中的关键结果，它指出n维单形的体积V、外接球半径R和内切球半径r之间存在一个不等式关系，即V ≥ (n/(n-2))^n * (R/r)^{n^2 - n}，等号成立的条件是单形为正则单形。这个不等式为后续的不等式构建提供了基础。 这篇论文深入探讨了n维几何中的一个重要问题，通过创新的数学方法，不仅扩展了我们对单形几何的理解，也推进了不等式理论的发展。这些研究成果对于几何学、计算几何以及与多面体相关的其他数学分支都有深远的影响。