二维随机变量概率密度函数解析：P{X+Y≤1}

"求P{X+Y≤1}。二维随机变量(X,Y)的概率密度为： x y o 1/2 1 1" 在概率论中，给定一个二维随机变量(X,Y)，我们需要计算事件P{X+Y≤1}的概率。这通常涉及到对联合概率密度函数的积分。描述中给出了二维随机变量(X,Y)的概率密度函数，但没有直接给出函数形式，我们只能基于描述中的数据来理解这个密度函数。 在0到1的矩形区域（x=0到1，y=0到1）内，概率密度为1/2。这意味着在该区域内，每个点被赋予的概率密度是1/2。由于这是概率密度，整个区域的概率应该等于1，即： ∫∫f(x,y)dxdy = 1 其中，f(x,y)在0到1的矩形内是1/2，在其他地方是0。 现在，我们要计算P{X+Y≤1}，这相当于找到所有满足x+y≤1的点的区域，并对该区域的概率密度进行积分。这个区域是一个三角形，顶点位于(0,0)，(1,0)，和(0,1)。因此，我们可以将这个积分分为两部分： 1. 在x+y≤1且x≥0，y≥0的部分，积分的边界是x=0到x=1-y。 2. 在x+y≤1且x≤0，y≥0的部分，积分的边界是y=0到y=1-x。 所以，P{X+Y≤1}可以表示为： P{X+Y≤1} = ∫[0,1]∫[0,1-x] 1/2 dydx + ∫[0,1]∫[0,1-y] 1/2 dxdy 这两个积分相加会给出我们想要的结果。不过，由于具体数值没有给出，我们不能直接计算出准确的数值。通常，这样的积分可以通过数学软件或手动计算来解决，最后得到P{X+Y≤1}的概率。 此外，提供的部分内容是概率论与数理统计试题的解析，涵盖了概率的基本概念和计算方法，如条件概率、概率的性质、随机变量的分布等。例如，第3题讨论了随机变量X的平方等于1的概率，第4题涉及泊松分布的期望和方差，第5题是指数分布的概率计算，第6题探讨了正态分布的性质，第7题则提到了独立同分布随机变量的算术平均值接近正态分布的中心极限定理。 这些题目展示了概率论中的基本概念和应用，包括事件的概率、随机变量的分布、期望和方差的计算，以及概率分布的性质。学习者需要熟悉这些概念，以便解决实际问题。