IIR滤波器：反馈机制的无穷冲击响应

其特点是滤波器的输出不仅取决于当前的输入值，还与过去的输入和输出值有关。由于其冲激响应理论上是无限长的，因而得名。 IIR滤波器的工作原理基于递归方程。在设计时，通常使用差分方程来描述，如下所示： \[ y[n] = -\sum_{k=1}^{N} a_k y[n-k] + \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] \] 其中，\( y[n] \) 是当前时刻的输出，\( x[n] \) 是当前时刻的输入，\( a_k \) 和 \( b_k \) 是滤波器系数，\( N \) 和 \( M \) 分别代表输出和输入的延迟长度。等式右边的第一项表示滤波器的历史输出对当前输出的影响，第二项表示输入对当前输出的影响。在实践中，IIR滤波器通常采用级联或并联形式，其中每个级联或并联的单元称为双二阶（biquad）或单二阶（univsersal）滤波器。 IIR滤波器之所以具有反馈特性，是因为它在构造时包含了输出对自身的影响（即反馈）。这种反馈可以导致滤波器的冲激响应持续存在，不会在有限的时间内衰减至零。这种持续存在的响应是由于滤波器内部的极点位置决定的，当极点位于单位圆内时，滤波器是稳定的，因此冲激响应会逐渐衰减；如果极点在单位圆外，则滤波器是不稳定的。 IIR滤波器的设计通常涉及寻找一组合适的系数 \( a_k \) 和 \( b_k \)，以实现期望的滤波性能。设计方法多种多样，包括模拟原型法、直接法、优化法等。模拟原型法是将一个已知的模拟滤波器（如巴特沃斯、切比雪夫滤波器等）通过变换映射到数字域。而优化法则是直接在数字域中使用优化算法来寻找最佳系数。 与有限脉冲响应（FIR）滤波器相比，IIR滤波器具有较低的阶数要求来实现同样的滤波效果，这意味着它们通常需要更少的计算资源。然而，IIR滤波器的相位响应不是线性的，这可能导致信号的某些频率分量经历不同的延迟，进而影响信号的相位失真。 IIR滤波器在许多实际应用中都有广泛的应用，包括音频处理、图像处理、通信系统中的信号调整等。例如，在音频均衡器中，IIR滤波器可以用来增强或削弱特定频段的声音，以达到用户期望的音质效果。 需要注意的是，IIR滤波器的设计和实现必须仔细考虑其稳定性和相位特性，以确保滤波器在实际应用中的性能满足要求。"