Matlab编程实践：主成分分析详解

"利用Matlab编程实现主成分分析" 主成分分析(PCA)是一种常见的数据分析方法，主要用于降低数据的维度，同时保持数据集中的大部分信息。PCA通过对原始数据进行线性变换，将高维数据转换为一组线性不相关的低维主成分。在Matlab中实现PCA，既可以使用内置的函数，也可以编写自定义代码。以下是对标题和描述中所述知识点的详细解释： 1. 主成分分析的基本概念 主成分分析通过计算相关系数矩阵来提取数据的内在结构。它寻找一组新的变量（主成分），这些主成分是原始变量的线性组合，且它们之间互不相关，使得第一主成分解释了数据变异性最大的部分，后续的主成分依次解释剩余的变异性。 2. PCA计算步骤 - 步骤1：计算相关系数矩阵 相关系数矩阵R由所有变量对之间的相关系数构成，其计算基于变量的标准差和协方差。 - 步骤2：求解特征值和特征向量 特征值反映了数据的方差分布，而特征向量是与这些特征值对应的正交向量。解特征方程找到特征值λ和对应的特征向量v。 - 步骤3：计算主成分贡献率和累计贡献率 主成分的贡献率是单个主成分解释的总方差的比例，累计贡献率则是前n个主成分解释的总方差比例，一般选取累计贡献率达到85%-95%的主成分。 - 步骤4：计算主成分载荷 主成分载荷是原始变量与主成分之间的关联度，可用于理解原始变量对新主成分的影响。 - 步骤5：计算主成分得分 主成分得分是原始数据在新坐标系下的投影，代表了每个观测值在主成分方向上的位置。 3. Matlab编程实现PCA - 程序结构：在Matlab中，通常会定义主函数和若干子函数来完成PCA的各个步骤。例如，`Cwstd.m`用于数据标准化，`Cwfac.m`计算相关系数矩阵和特征值，`Cwscore.m`计算主成分得分，`Cwprint.m`负责输出结果。 - 函数作用： - `Cwstd.m`：对数据进行标准化，确保各变量在同一尺度上，通常使用Z-score标准化或总和标准化。 - `Cwfac.m`：计算相关系数矩阵R，解特征方程求特征值和归一化后的特征向量，确定主成分贡献率和累计贡献率，并选择满足条件的主成分。 - `Cwscore.m`：根据特征向量和标准化后的数据计算主成分得分，也可以得到综合得分。 - `Cwprint.m`：读取数据，调用以上函数并输出结果，包括主成分个数、载荷、得分等。 4. 源程序示例 源程序如`cwstd.m`、`Cwfac.m`、`Cwscore.m`和`Cwprint.m`等，具体实现细节可能包含矩阵操作、循环、条件判断等，例如`Cwstd.m`会涉及到`std`函数进行标准化，`Cwfac.m`会用到`eig`函数计算特征值和特征向量等。 在实际应用中，Matlab提供的`princomp`或`pca`函数可以直接进行主成分分析，简化了编程过程，但自定义代码可以提供更多的灵活性和控制权。