最小二乘法：纤维强度的线性拟合与误差度量

曲线拟合的最小二乘法是一种常用的统计方法，用于通过数学模型来近似非线性数据之间的关系，以便于理解和预测。它在数值分析中扮演着关键角色，尤其是在处理实际问题时，如研究纤维的强度与其拉伸倍数之间的关系。在给出的例子中，通过24个纤维样品的数据，研究人员观察到强度与拉伸倍数之间可能存在线性趋势，即强度随着拉伸的增加而增加。 最小二乘法的核心思想是寻找一个函数（在这里是一条直线）使得所有数据点到这条直线的距离（残差）的平方和最小。用数学公式表示，这可以通过以下步骤实现： 1. 假设我们有一个线性模型 y = β₀ + β₁x，其中 y 是强度，x 是拉伸倍数，而 β₀ 和 β₁ 是未知的参数。我们的目标是找到这两个参数使得所有数据点到直线 y = β₀ + β₁x 的距离（残差）的平方和最小。 2. 定义残差 δ_i 为每个数据点 (x_i, y_i) 到直线上的点 (x_i, y_i - f(x_i)) 的垂直距离，即 δ_i = y_i - (β₀ + β₁x_i)。为了使残差平方和最小，我们需要最小化 ∑ δ_i^2。 3. 最小化残差平方和的过程可以转化为求解一个优化问题，通过将所有残差的平方加起来得到目标函数：∑(y_i - (β₀ + β₁x_i))^2。通过求导并设置导数等于零，可以得到关于 β₀ 和 β₁ 的方程组，通常需要使用数值方法（如梯度下降或迭代算法）求解。 4. 在这个例子里，通过拟合数据，我们发现1号数据点 (1.9, 1.4) 作为截距点 β₀，而斜率可以通过计算所有数据点的平均变化率来估计。然后根据这些数据调整模型，以确保所有样本点尽可能接近直线。 5. 小结来说，最小二乘法是通过线性模型（在本例中是一条直线）来逼近数据分布，它提供了一种客观的度量标准来衡量模型的好坏，以及一种求解模型参数的有效方法。这种方法不仅适用于线性关系，还可以推广到其他类型的函数，如正交多项式等。在实际应用中，权重可能也会被考虑进来，以赋予不同数据点不同的重要性。这种技术广泛应用于各种科学领域，包括物理、工程、经济学和机器学习等。