椭圆最优控制问题的奇次矩形元超收敛分析

"该文是关于最优控制问题的超收敛分析，主要研究了椭圆最优控制问题在局部对称网格上使用双k次矩形有限元空间理论的超收敛性。作者通过奇次矩形元导数恢复算子技术，获得了高精度的超收敛结果，为解决这类问题提供了一种新的方法。文章引用了前人的研究成果，并指出虽然已有大量工作关注线性有限元空间下的最优控制问题，但对于非线性元和高次矩形元的研究相对较少。" 在最优控制问题中，有限元方法是一种广泛应用的数值求解技术。该文聚焦于椭圆型最优控制问题，这是一个在工程和科学领域常见的优化问题，涉及到找到一个最佳控制输入，使得由物理或数学模型描述的系统状态达到预定的目标。具体来说，该问题通常包含一个目标函数（如能量最小化或误差最小化）以及一组约束条件（如物理定律或系统边界条件）。 论文介绍了一种利用双k次矩形有限元空间理论的方法，这是一种特殊类型的有限元空间，可以处理具有更高阶连续性的函数。这种方法结合了插值逼近性质，即通过有限个节点的插值函数近似原函数，以及奇次矩形元导数恢复算子，该算子能够恢复高阶导数，从而提高解的精度。 超收敛是指在有限元方法中，解的误差相对于网格尺寸的降低速度超过标准的收敛速率。通常，有限元解的误差随着网格细化按一定的阶数减少，而超收敛意味着在某些条件下，误差的下降速度可以更快。在本文中，作者在局部对称网格上研究了最优控制问题的超收敛性，这意味着即使在不均匀的网格分布下，也能得到较高的解精度。 文献回顾了Zienkiewicz和Zhu在1992年提出的有限元单元片恢复超收敛算子，并指出随后的研究中，数值分析家为不同问题设计了各种恢复超收敛算子，但大多数工作集中在线性有限元上。本文的贡献在于将这种方法扩展到了非线性和高次矩形元，特别是在解决椭圆最优控制问题时，通过双奇次矩形元和导数恢复算子，实现了高精度的超收敛解。 这篇论文为椭圆最优控制问题的数值求解提供了一种新的、高效的方法，其核心在于利用非线性元素和高阶矩形元的超收敛性质，对于理解和改进数值优化算法具有重要意义。