图论基础：从图的定义到最短路问题

点v的入度，用d-(v)表示。在有向图D中，度的概念被分为出度和入度，分别表示从一个顶点出发和指向一个顶点的边的数量。同样，对于有向图的最大出度和最大入度分别记为Δ+(D)和Δ-(D)，最小出度和最小入度记为δ+(D)和δ-(D)。 图的遍历是指在图中按照某种规则顺序访问每个顶点的过程。常见的图遍历算法包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。DFS通常使用栈来实现，而BFS则常使用队列。这两种方法在解决连通性问题、寻找最短路径和找到所有可达顶点等方面有广泛应用。 树是一种特殊的图，其中任意两个顶点间有且仅有一条路径。树的重要概念包括根节点、子节点、父节点、叶子节点以及树的高度。支撑树是图的一个子集，形成一棵树，并且连接了图中的所有顶点。最小生成树问题是在加权图中找到一棵权值之和最小的支撑树，常见的算法有Prim's算法和Kruskal's算法。 最短路问题是在图中寻找从起点到终点的最短路径。Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的有效方法，而Floyd-Warshall算法可以求解所有对最短路径。在网络路由、交通规划等领域有重要应用。 最大流问题是在有向图中寻找从源点到汇点的最大流量，这涉及到网络流理论。Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法是解决这一问题的常用方法，它们基于增广路径的概念来逐步增加流的量。 图的匹配是指在无向图中找尽可能多的互不相交的边，使得每条边的两个端点都不重复。匈牙利算法是解决完全图中最大匹配问题的有效算法，而在更一般的图中，Kuhn-Munkres算法（也称为KM算法）被用来寻找最大匹配。 图论是运筹学和组合优化的一个重要分支，它在计算机科学、网络设计、物流、社会网络分析等领域都有广泛的应用。了解并掌握图论的基本概念和算法对于解决实际问题至关重要。通过深入学习图的定义、遍历、树、最短路径、最大流以及匹配等核心概念，我们可以更好地理解和解决与图相关的问题。