Gevrey函数与超分布中的Paley-Wiener定理及应用

"这篇论文探讨了Gevrey类和超分布中的Paley-Wiener型定理，并在1988年的《数学研究与评论》第八卷第二期中发表。作者陈化（来自武汉大学）指出，这些定理在Gevrey函数类和超分布中与Paley-Wiener定理类似，涉及具有紧支集的函数和分布与其傅里叶-拉普拉斯变换的关系。文中还提及Gevrey函数空间与某些特定函数空间的一致性，并证明了具紧支集的Gevrey函数空间与超分布空间SP的对应。" 在数学领域，Paley-Wiener定理是一个核心结果，它揭示了具有紧支集的光滑函数和分布与其傅里叶变换的性质。该定理将这些函数和分布与指数型整函数关联起来，对于理解偏微分方程的C∞理论至关重要。在本文中，作者陈化扩展了这一理论到Gevrey函数类和超分布，这是函数理论的一个分支，包含了比经典光滑函数更广泛的类。 Gevrey函数类是由满足特定增长条件的函数组成的。当s>1时，一个函数f如果在任何紧集K上都有上界 sup|Dαf(x)|≤CA^(α!)（其中Dα表示α阶导数），则f被称为s-Gevrey函数。这些函数构成了一个名为Gs(Q)的空间，其中Q是Rn中的开集。Gó(Q)是G'(Q)中所有具有紧支集的函数的集合，而Ds'(Q)和E'(Q)分别是它们的拓扑对偶空间，分别对应于s族起分布空间和具紧支集的超分布空间。 文章进一步讨论了这些空间的拓扑结构，特别是通过定义在紧集K上的Cm(K)函数空间，并利用射影极限拓扑来定义C气K)的拓扑。这种拓扑结构允许对函数空间进行精细的分析，从而能够处理更复杂的函数和分布。 Paley-Wiener型定理在Gevrey函数类和超分布中的推广意味着可以对这些更广义的函数和分布进行类似的分析，这在解决涉及非标准光滑性的数学问题时非常有用。此外，作者证明了具紧支集的Gevrey函数空间与超分布空间SP之间的一致性，这扩展了Paley-Wiener定理的应用范围，可能对解决偏微分方程和其他相关领域的数学问题产生积极影响。