非负矩阵分解算法详解及Matlab实现

非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization, NMF)是一种重要的线性代数方法，特别适用于处理非负数据集的分析，如图像、文本和生物信息学等领域。NMF的基本目标是将一个非负矩阵分解成两个非负矩阵的乘积，即V = WH，其中V是输入矩阵，W是非负基矩阵，H是非负系数矩阵。这种方法强调了数据的结构和可解释性，因为每个原始数据项可以由基向量通过相应的权重系数线性组合而成。 在实际应用中，NMF常用于数据降维、特征提取以及主题模型等领域。在给定的MATLAB源程序中，首先通过`size(X)`获取矩阵X的维度，然后将其转换为双精度类型。接着，随机初始化两个非负矩阵B（基矩阵）和H（系数矩阵），并进行归一化处理以确保矩阵元素非负且每一列的和为1。程序通过迭代过程更新W和H，使用B'H和B*H的乘积作为梯度更新的依据，这是一种类似于梯度下降的方法，但在此特殊约束下，即矩阵元素必须保持非负。 算法的关键在于迭代优化，通过`for`循环执行最大迭代次数`maxiter`内的迭代，每次迭代都会更新H矩阵，然后根据更新后的H更新B矩阵。这样做的目的是使误差函数逐渐减小，直到达到某种收敛条件。NMF算法的收敛性可以通过类似期望最大化算法的辅助函数方法来证明，并且可以解释为带有适当缩放因子的诊断梯度下降算法。 值得注意的是，选择合适的r（隐藏因子的数量）对于NMF的成功至关重要，通常r远小于输入矩阵的列数n。通过选择适当的r，NMF可以实现数据的降维，使得数据的表示更加紧凑，同时保留了数据的主要特征。 总结来说，非负矩阵分解算法提供了一种直观且有意义的数据表示方式，尤其适合处理非负数据的分析任务，而给定的MATLAB代码则展示了如何通过迭代优化实现这一方法。理解这个算法的核心在于其迭代更新策略，以及如何利用非负约束来揭示数据内在的结构和特性。