Python实现Sod激波管问题Riemann间断解的求解与代码详解

本文主要探讨了一维Sod激波管问题的数值求解方法，该问题涉及到初值问题中两种流动特性：膨胀波和激波。在初始时刻$t=0$，问题定义了两个不同的状态：在$x<0$处，流体密度$\rho_1=1$，速度$u_1=0$，压力$p_1=1$；而在$x\geq0$处，密度$\rho_2=0.125$，速度$u_2=0$，压力$p_2=0.1$。 Sod激波管问题的核心在于利用Riemann间断解理论来描述流动特性。在等熵条件下，膨胀波满足压强与密度的比例关系，而激波则通过守恒定律描述，如质量守恒、动量守恒和能量守恒。通过计算声速$c_i$（其中$i$表示左或右区域），以及Riemann不变量的相等条件，我们可以建立一个包含五个未知量的方程组。 对于膨胀波，问题中的等熵关系和Riemann不变量表达式被用来简化方程，得到关于$p^*$（未知压强）的函数$f(p^*, p_i, \rho_i)$。而对于激波情况，额外的两个方程进一步限定了解的范围。在这个特定例子中，由于$p_2<p_1$，问题属于左侧膨胀波右侧激波的情形，中间存在接触间断。 文章还介绍了如何通过二分法求解$p^*$。由于函数$F(p^*)=f(p^*, p_1, \rho_1) + f(p^*, p_2, \rho_2)$的单调性，结合已知的$(u_1, \rho_1, p_1)$和$(u_2, \rho_2, p_2)$，可以逐步逼近$p^*$的精确值。找到$p^*$后，可以进一步计算$u^*$，这个速度是两个边界条件的平均加上两个区域间的差值。 在解决膨胀波时，需要计算新的声速$c_1^*$和波速$z_1^*$，而在激波区域，需要确定截面面积$A_2$。这些计算都是基于已求得的$p^*$和初始条件。 整个过程中，Python代码和详细的注释有助于读者理解算法步骤，并能够应用于实际的数值模拟中。通过本文，学习者可以深入了解一维Sod激波管问题的理论背景和数值求解技巧，这对于理解和应用流体力学中的Riemann问题具有重要意义。