C++实现牛顿插值法：高效计算插值值

本篇文章主要介绍了在C++中实现牛顿插值法的一种算法。牛顿插值法是一种数值分析技术，用于根据给定的插值点序列构造出一个多项式，以便在这些点上精确地拟合数据，并能够用来预测在这些点之间的函数值。该方法的特点是高效且局部化，即随着新的插值点加入，只需要对多项式的部分系数进行更新，而之前的计算结果仍然可以复用。 首先，我们看到程序定义了三个内联函数：`f(int m, int n)`、`f(int m, int n, int k)` 和 `f(int m, int n, int k, int t)`，分别用于计算不同阶的差商。差商是牛顿插值法的关键，它是通过相邻插值点之间的函数值差异除以对应的x值之差得到的，表示了函数值在某两点之间的变化率。 `f(int m, int n)` 用于计算第一个差商，即 `(y[n] - y[m]) / (x[n] - x[m])`，它代表了在插值点 `x[n]` 和 `x[m]` 之间的一阶导数。后续的函数递归计算了更高阶的差商，如 `f(int m, int n, int k)` 表示在 `(x[n], y[n])` 和 `(x[k], y[k])` 两点间的变化，以及 `f(int m, int n, int k, int t)` 对于四个点 `(x[t], y[t])` 的三阶导数。 `double Newton(double xx)` 函数则是整个牛顿插值的核心，它接受一个参数 `xx`，并利用之前计算的差商来构建多项式。这个函数通过牛顿插值公式计算出在给定点 `xx` 处的函数值，公式为： \[ P(x) = y_0 + \frac{f(0,1)}{1!}(x - x_0) + \frac{f(0,1,2)}{2!}(x - x_0)(x - x_1) + \frac{f(0,1,2,3)}{3!}(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) + ... \] 这里，`y_0` 是初始点的函数值，`f(0,1)`、`f(0,1,2)` 和 `f(0,1,2,3)` 分别代表一阶、二阶和三阶差商。函数逐项累加了多项式的每一项，直到所有插值点都被考虑到。 在 `main()` 函数中，代码演示了如何使用牛顿插值法计算 `sin(11.5)` 的值。通过调用 `Newton(11.5)`，程序利用给定的插值点 `x[4]` 和 `y[4]` 来近似计算目标函数在给定点处的值。 这篇文章展示了如何使用C++实现基于牛顿插值法的数值计算，特别是对于需要在已知数据点上进行快速、准确预测的场景，这种方法具有很高的实用性。