随机过程详解：马尔可夫链与核心概念

"随机过程的学习笔记，涵盖了马尔可夫链和相关重要例题，讨论了概率论的基础概念，如样本空间、事件、随机变量、概率性质、条件概率公式，以及离散和连续随机变量的各种分布，如伯努利、二项、几何、泊松、均匀、指数、正态等。此外，还提到了数学期望的性质和马尔可夫链的概念及其应用举例。" 随机过程是概率论中的一个重要分支，它研究随机现象随时间演变的规律。在这个笔记中，首先介绍了概率论的基本概念。样本空间是所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，而基本事件是不可再分割的最小事件。随机事件则具有不确定性，例如掷色子点数为奇数。乘法公式是计算联合概率的关键，而概率的三大性质——非负性、规范性和可列可加性，是理解概率基础的基石。 条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式是概率推断的核心工具。条件概率公式用于在已知某些信息的情况下计算事件的概率，全概率公式则用于通过已知的互斥事件来计算总概率，而贝叶斯公式则是从已知结果反推原因的概率。 接着，笔记详细讨论了离散和连续随机变量的不同分布。离散随机变量包括伯努利分布（0-1分布）、二项分布、几何分布、泊松分布和超几何分布。连续随机变量则有均匀分布、指数分布、正态分布，以及一些特殊分布如卡方、t、F、伽玛和贝塔分布。这些分布广泛应用于统计分析和工程问题中。 数学期望是衡量随机变量平均值的指标，分为离散和连续随机变量的期望，并具有特定的性质，如独立随机变量的期望乘积性质、条件期望的平滑性以及双期望公式。在马尔可夫链部分，笔记解释了这种随机过程的特点：未来的状态只依赖于当前状态，而不受历史状态的影响。这在很多领域都有应用，如天气预报、网络路由和生物系统建模。 笔记中的三个例题展示了马尔可夫链的实际应用，包括带吸收壁和反射壁的随机游动模型，这些例子帮助理解马尔可夫链的一步转移概率矩阵及其计算方法。 这份笔记为学习随机过程提供了扎实的基础，涵盖了从概率论基础到高级概念，包括随机变量的分布、概率推理和马尔可夫链的应用。对于深入理解和应用随机过程理论，是一份宝贵的资料。