理解匈牙利算法：二分图最大匹配与实例解析

"回到例题:PKU-二分图算法介绍 很不错" 二分图是一种特殊的图结构，它的顶点可以分为两个不相交的集合X和Y，其中每条边都连接一个X集合的顶点和一个Y集合的顶点。这种划分方式使得图中的边不会在同一集合内的顶点之间形成连接。二分图的概念在解决许多实际问题中具有广泛的应用，例如在匹配问题、网络流问题等领域。 在给定的例题"PKU2195"中，有N个人和N个房子，每个人都需要分配到一个房子，并且每个人到每个房子都有一定的距离。目标是使得所有人回到房子的总距离最短。这个问题可以通过构造一个二分图来解决。我们可以将人设为X集合的顶点，房子设为Y集合的顶点，然后用边的权值表示人到房子的距离。原问题要求最小化总距离，等价于最大化边的负权值，因此我们可以将所有边的权值取反，转换成求解最大匹配的问题。 二分图的匹配是指在二分图中，选取一部分边，使得没有两个边共享同一个顶点。最大匹配是指在所有匹配中边数最多的一个，而完美匹配则是指所有顶点都包含在匹配边中的最大匹配。 匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的一种高效方法，其时间复杂度为O(nm)，其中n和m分别是图的顶点数和边数。该算法的核心是通过宽度优先搜索寻找增广路径，即可以增加匹配数量的路径。初始时，最大匹配可能为空，然后从二分图的左半部分的每个顶点出发，寻找增广路径。如果找到这样的路径，就更新匹配，增加匹配数。这个过程不断进行，直到找不到增广路径为止，此时得到的就是最大匹配。 以"PKU1469"为例，问题是要在N个学生和P门课程之间找到一个匹配，使得每个学生代表一门不同的课程，每门课程也都有一个代表。这同样可以转化为二分图的最大匹配问题。学生作为X集合，课程作为Y集合，如果学生对某门课程感兴趣，则在它们之间添加边。匈牙利算法可以帮助我们找出是否存在这样一个匹配，使得匹配的边数至少等于课程数P。 二分图及其最大匹配算法在解决匹配和分配问题时具有强大的能力，不仅可以应用于最短路径优化，如"PKU2195"中的问题，还可以用于资源配置、任务分配等场景，如"PKU1469"中的课程代表问题。掌握这些概念和算法对于理解和解决实际问题具有重要意义。