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MATLAB实现下的数值积分算法与精度比较
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更新于2024-06-24
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本篇毕业设计论文主要关注"数值积分算法与MATLAB实现"这一主题,针对在工程和科学研究中遇到的复杂函数定积分问题提供解决方案。在实际应用中,由于许多函数没有简单的原函数形式,导致无法精确求解积分,这就需要用到数值积分方法来获得近似值。数值积分是数值分析领域中的关键技术,它对于处理这类难题具有显著的实际价值。 论文首先从数值积分问题的背景出发,强调了解决复杂积分问题的重要性。研究的重点包括了牛顿-科特斯求积公式,这是一种基础且广泛应用的数值积分方法,它通过分割区间并使用多项式插值来逼近积分。然而,为了提高计算精度,论文还深入探讨了更高阶的数值积分算法,如龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。这些公式利用更复杂的函数组合来减小误差,确保结果的准确性。 在理论阐述之后,论文的实践部分着重于MATLAB软件的运用。MATLAB作为一种强大的数学计算环境,为数值积分算法的实现提供了便利。作者通过编写程序,将理论转化为具体的代码,对不同求积公式进行了实际操作。论文通过具体例子展示了如何运用这些公式进行积分计算,并对比分析了它们在计算精度上的差异。 通过这种结合理论与实践的方式,论文不仅加深了读者对数值积分原理的理解,还展示了如何将其应用于实际问题的解决,尤其是利用MATLAB这样的工具。这对于理解数值积分算法在工程、物理、经济等领域的实际应用具有重要意义,也为后续的研究者提供了宝贵的参考案例。
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重庆邮电大学本科毕业设计(论文)
- 7 -
根据定理 1.1 可知,它的代数精度为 3
过
( , ( ))a f a
,
( , ( ))
2 2
a b a b
f
+ +
和
( , ( ))b f b
3 个点,构造一个
( )f x
的三次
Lagrange 插值多项式
3
( )L x
,且使
3
( ) ( )
2 2
a b a b
L f
+ +
¢
¢
=
。根据 Lagrange 插值余项
定理得
(4) (4)
2
3 4
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
4! 4! 2
f f a b
f x L x x x a x x b
x x
w
+
- = = - - -
[ , ]a b
x
Î
对上式两边从
a
到
b
进行积分,即可得到
(4) 2
2 3
1
( ) [ ( ) ( )] ( )( )( ) ( )
4! 2
b b
a a
a b
R f f x L x dx f x a x x b dx
x
+
= - = - - -
ò ò
(1.14)
根据定积分中值定理可知,在
[ , ]a b
上总有一点满足下述关系:
(4) 2
( )( )( ) ( )
2
b
a
a b
f x a x x b dx
x
+
- - -
ò
(4) 2
( ) ( )( ) ( )
2
b
a
a b
f x a x x b dx
h
+
= - - -
ò
通过变量代换
t x a= -
,
dt dx=
,很容易求得
5
2
( )
( )( ) ( )
2 120
b
a
a b b a
x a x x b dx
+ -
- - - = -
ò
把这个结果代入式
(1.14)
,便得出辛浦生求积公式的误差估计式
5 5
(4) (4)
2
1 ( ) ( )
( ) [ ( )] ( )
4! 120 2880
b a b a
R f f f
h h
- -
= - = -
[ , ]a b
h
Î
(1.15)
4、科特斯求积公式
由于
3n =
和
2n =
时具有相同的迭代精度,但是
2n =
时计算量小,故
3n =
的 Newton-Cotes 积分公式用的很少。
定义 1.4 在牛顿-科特斯求积公式中,如果取
4n =
时,牛顿—科特斯公式
为
[ ]
0 1 2 3 4
( ) 7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )
90
b
a
b a
f x dx f x f x f x f x f x
-
» + + + +
ò
(1.16)
称式
(1.16)
为科特斯求积公式。同理根据式
(1.10)
可求得其误差估计式
重庆邮电大学本科毕业设计(论文)
- 8 -
6 (6)
4
2( )
[ ] ( ) ( )
945 4
b a b a
R f f
- -
= - h
( ( , ))a bhÎ
(1.17)
三、求积公式的代数精度
如果被积函数
( )f x
为任意一个次数不高于
n
次的多项式时,数值求积公式
一般形式的截断误差
[ ]
0R f =
;而当它是
( 1)n +
次多项式时,
[ ]
0R f ¹
,则说
明数值求积公式具有
n
次代数精度。一个数值求积公式的代数精度越高,表示
用它求数值积分时所需逼近被积函数的多项式次数越高。
定理 1.1
[3]
牛顿-科特斯求积公式的代数精度等于
n
,当
n
为偶数时,牛
顿-科特斯求积公式的代数精度等于
1n +
证明 如果被积函数
( )f x
是一个不大于
n
次的多项式,则
( 1)
( ) 0
n
f x
+
=
,
即
[ ]
0R f =
;而当时任意一个
( 1)n +
次多项式时,
( 1)
( ) 0
n
f x
+
¹
,故
[ ]
0R f ¹
所以,按照代数精度的定义可知,一般情况下,牛顿-科特斯求积公式的代数
精度等于
n
。当
( )f x
为
n
次多项式时,
( 1)
( ) 0
n
f
x
+
=
( , )a b
x
Î
牛顿-科特斯求积
公式的代数精度至少等于
n
。若设是一个
( 1)n +
次多项式,这时
( 1)
( )
n
f
x
+
为一
常数,而
[ ]
( 1)
0 1
( )
( ( ) ( )) ( )( ) ( )
( 1)!
n
b b
n n
a a
f
R f f x L x dx x x x x x x dx
n
x
+
= - = - - -
+
ò ò
L
因此,只要证明在
n
是偶数时,
0 1
( )( ) ( ) 0
b
n
a
x x x x x x dx- - - =
ò
L
,
[ ]
0R f =
,
定理就可得证。为此,设
1
,( 0,1, 2 )
i i
x x h i n
+
- = = L
,令
[ ]
, 0, ,x a th t n dx hdt= + Î =
,
于是
1
0 1
0
( )( ) ( ) ( 1)( 2) ( )
b n
n
n
a
x x x x x x dx h t t t t n hdt
+
- - - = - - -
ò ò
L L
由于
n
为偶数,不妨设
2n k=
,
k
为正整数,则
[ ]
0,2t kÎ
,于是
2
0 0
( 1)( 2) ( ) ( 1) ( )( 1) ( 2 1)( 2 )
n k
t t t t n hdt t t t k t k t k t k dt- - - = - - - - - + -
ò ò
L L L
再引进变换
u t k= -
,则
t u k= +
,
u t
d d=
,
[ ]
,u k kÎ -
,代入上式右侧,得出
0
( 1)( 2) ( )
n
t t t t n dt- - -
ò
L
重庆邮电大学本科毕业设计(论文)
- 9 -
( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( )
k
k
u k u k u u u u k u k du
-
= + + - + - - + -
ò
L L
2 2 2 2 2
( 1) ( ( 1) )( )
k
k
u u u k u k du
-
= - - - -
ò
L
最后的积分中被积函数是奇函数,所以积分结果等于零,定理 1.1 得证。
第二节 复化求积公式
前面导出的误差估计式表明,用牛顿-科特斯公式计算积分近似值时,步
长越小,截断误差越小。但缩小步长等于增加节点,亦即提高插值多项式的次
数。龙格现象表明,这样做并不一定能提高精度。理论上已经证明,当
n ® ¥
时,牛顿-科特斯公式所求得的近似值不一定收敛于积分的准确值,而且随着
n
的增大,牛顿-科特斯公式是不稳定的。因此,实际中不常用高阶牛顿-科特斯
公式。为了提高计算精度,可考虑对被积函数用分段低次多项式插值,由此导
出复化求积公式。
一、复化梯形求积公式
在实际应用中,若将积分区间分成若干个小区间,在各个小区间上采用低
次的求积分式(梯形公式或辛浦生公式),然后再利用积分的区间可加性,把
各区间上的积分加起来,便得到新的求积公式,这就是复化积分公式的基本思
想。
以梯形面积近似曲边梯形面积,即用梯形公式求小区间上积分的近似值。
这样求得近似值显然比用梯形公式计算精度高。定积分存在定理表明,只要被
积函数连续,当小区间的长度趋于零时,小梯形面积之和即就趋于曲边梯形面
积的准确值,即定积分的准确值。
定义 1.5
[4]
将积分区间
[ , ]a b
进行
N
等分,记为
b a
h
N
-
=
,
k
x a kh= +
在每个小区间
1
[ , ]
k k
x x
+
( 0,1, , 1)k N= -L
上用梯形公式求和,得
1
1 1
1
0 0
( ) ( ) [ ( ) ( )]
2
k
k
N N
b x
k k
a x
k k
h
f x dx f x dx f x f x
+
- -
+
= =
= » +
å å
ò ò
若将所得的近似值记为
N
T
,整理得
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xinkai1688
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