复方阵的Schur定理与正规矩阵的性质与求法

第三章幻灯片B1主要探讨了正规矩阵的相关理论，包括Schur定理和其证明方法。Schur定理指出任何复方阵都可以通过酉相似变换转化为上三角矩阵。这里的关键概念是正规矩阵，它定义为一个复数矩阵与其共轭转置矩阵可以交换，即 \( A \cdot A^H = A^H \cdot A \) 正规矩阵具有几个重要的性质： 1. **正规矩阵的酉相似不变性**：如果矩阵A是正规的，并且它与矩阵B通过酉相似变换关联（即存在酉矩阵P使得\( B = P^{-1}AP \)），那么B也一定是正规矩阵。 2. **上三角正规矩阵的性质**：上三角矩阵如果还是正规矩阵，则其对角线上的元素必须是实数，因为只有实数才能满足正规矩阵的定义。 **正规矩阵的特征值与对角化**： - 正规矩阵可以进行酉相似对角化，这意味着存在一个单位正交矩阵U和对角矩阵D，使得\( A = UDU^H \)，这是正规矩阵特有的特性。 - 对于正规矩阵，它的特征值的性质显著：Hermit矩阵（对称矩阵）的特征值都是实数；反Hermit矩阵（反对称矩阵）的特征值的实部都为零；而酉矩阵（正交矩阵）的特征值的模都等于1。 **求解正规矩阵的对角化形式**： - 当给定一个n阶正规矩阵A，首先确认它的代数重数等于几何重数，即每个特征根对应的特征向量组是线性无关的。 - 不同特征值对应的特征子空间是正交的，可以通过找到对应于每个特征值的特征向量来构建对角矩阵。 - 求解的具体步骤包括找到r重特征根c的特征子空间的维度（r），并确保这些特征向量正交，最后将这些特征向量作为列构成酉矩阵U，对角矩阵D由特征值组成。 **问题部分**： - 提到的问题是关于如何对给定的n阶正规矩阵A找到其对角化形式，即找到适当的对角矩阵\( \Lambda \)和酉矩阵U，使得\( \Lambda = AUU^H \)。这个问题的关键在于找到正规矩阵的特征值和对应的正交特征向量。 总结来说，第三章幻灯片B1的核心内容是正规矩阵的定义、性质及其在对角化过程中的应用，以及解决正规矩阵对角化问题的方法。通过理解正规矩阵的这些概念，可以深入研究矩阵理论并应用于各种实际问题中。