凝聚动约束组合同伦法解非凸优化问题

"刘庆怀，王秀玉，姜兴武所著的‘Combined Homotopy Method For Solving Nonconvex Nonlinear Programming With a Bounded Feasible Set’是一篇首发论文，探讨了解决不等式约束的非凸非线性优化问题的新方法。该方法在有界且连通的可行域以及边界正规性的条件下，通过构造凝聚动约束函数和组合同伦方程来求解问题。论文证明了从内点或任何不合规内点到问题解的光滑同伦路径的收敛性，并通过数值实例证实了这种方法的可行性和效率。关键词包括非线性规划、非凸规划、组合同伦和聚合函数。" 这篇论文主要关注的是非凸非线性优化问题的解决，特别是在一个有界的可行域内。非凸优化问题通常比凸优化问题更复杂，因为其可能包含多个局部最优解。作者提出的“凝聚动约束组合同伦方法”旨在解决这类问题。 首先，文章引入了一个参数化的聚合约束函数，该函数随着参数θ的变化可以调整问题的约束条件。这样的设计允许问题从一个更容易处理的形式逐渐转换到原始的非凸非线性问题，形成一条同伦路径。同伦路径的概念来源于拓扑学，这里被用于连接初始状态（如无约束或简单的约束情况）和目标状态（即原问题的解）。 论文中的关键贡献在于证明了这种同伦路径的收敛性。即使从内点或不合规的内点出发，路径也能导向问题的解。这意味着该算法能够处理初始位置不理想的状况，这是许多优化算法中一个重要的实际考虑因素。 此外，作者假设可行域是连通的并且边界具有正规性，这两个条件对于确保算法的全局性质是至关重要的。连通性确保了路径可以在整个可行域内移动，而边界正规性则有助于避免奇异情况，使得算法能够顺利进行。 最后，数值实验部分提供了实际应用的例子，展示了这种方法在解决非凸非线性优化问题时的有效性和实用性。这不仅验证了理论分析的正确性，也为实际工程和科学计算中的问题解决提供了一种有力工具。 该论文提出的组合同伦方法为解决复杂的非凸非线性优化问题提供了一种新的思路，特别适用于有界可行域的问题。它通过构造特殊的同伦路径，保证了算法的收敛性，并在实践中得到了验证。对于优化理论和应用领域的研究者而言，这是一个有价值的贡献。