EM算法深入解析与实践

"EM算法课件讲义" EM（Expectation-Maximization）算法是一种在统计学和机器学习中用于估计隐藏变量模型参数的迭代方法。本课件由小象学院的邹博主讲，旨在帮助学习者深入理解和编程实现高斯混合模型（GMM）。课件内容丰富，涵盖了从实例解析到理论推导的多个方面。 首先，课件通过一个实例介绍了如何直观地求解高斯混合模型。GMM是一种概率模型，通常用于数据建模，特别是当数据呈现出多峰分布时。它假设数据是由多个高斯分布（正态分布）混合而成，每个观测点都有可能来自其中一个分布。在实际应用中，GMM常用于聚类任务，例如图像分析、语音识别等领域。 接下来，课件详细讲解了EM算法的原理。EM算法是一种迭代方法，用于最大化含有隐含变量的概率模型的对数似然函数。它分为期望（E）和最大化（M）两个步骤：在E步骤中，计算每个观测点属于各个潜在类别的概率；在M步骤中，利用这些概率来更新模型参数。课件中，通过坐标上升法帮助理解EM过程，使学习者能更好地掌握算法的核心思想。 在推导GMM参数部分，课件回顾了多元高斯模型，这是GMM的基础。多元高斯模型由三个参数组成：混合系数φ，均值μ，和协方差矩阵σ。在EM算法中，我们需要找到这些参数的最优值，以使得模型对观测数据的拟合度最高。课件还涉及到了拉格朗日乘子法，这是一种在约束条件下优化问题的常见方法，用于处理模型参数的约束问题。 此外，课件还简要回顾了Jensen不等式，这是一个在概率论和信息论中重要的不等式，对于理解EM算法的收敛性有重要作用。Jensen不等式说明了凸函数的性质，有助于解释为什么EM算法能够逐步提高模型的似然性。 课件还提到了K-means算法作为聚类的前导概念。K-means是一种简单而常用的无监督学习算法，用于将数据集划分为k个聚类。然而，与EM算法不同，K-means不能提供每个样本属于特定聚类的后验概率，而EM算法可以处理这种情况，尤其适用于存在隐含变量的情况。 在课件的最后部分，引发了对K-means局限性的思考，即其无法处理未标记样本的后验概率问题，并引出了最大似然估计的概念。最大似然估计是寻找模型参数的一种常用方法，目标是找到使观测数据出现概率最大的模型参数。 通过这个课件，学习者不仅能掌握EM算法的实战技巧，还能深化对高斯混合模型、最大似然估计以及聚类算法的理解，为进一步的机器学习和统计学习研究打下坚实基础。