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首页非线性动力系统刚性方程的精细时程积分算法研究
"非线性动力系统刚性方程精细时程积分法 (2002年)" 本文主要探讨了非线性动力系统中刚性常微分方程的数值积分方法,特别关注了一种称为精细时程积分法的单步算法。刚性方程在非线性动力系统、柔性多体系统动力学、电力系统、自动控制系统、生态平衡以及化学反应等领域都有广泛应用。这类方程的解通常包含快速变化和缓慢变化的成分,使得数值求解变得复杂且挑战重重。 传统的显式积分法对刚性方程的处理通常面临稳定性问题,而隐式积分法虽然能提供绝对稳定性,但可能带来计算上的风险。为了克服这些难题,研究者提出了精细时程积分法。这种方法结合了显式积分格式的便利性和绝对稳定性的优势,确保了在处理刚性方程时的高精度,从而避免了计算上的危险。 精细时程积分法的核心在于它能够有效地区分并处理方程中的快变和慢变分量。对于一阶标准型微分方程组,它可以转化为一种形式,使得在时间步进过程中,能够精确地追踪解的变化。通过精心设计的时间步长选择和迭代策略,这种积分法能够在保持计算效率的同时,保证解的精度。 文章通过实例分析证明了精细时程积分法在解决刚性方程方面的有效性。这些算例可能包括模拟不同物理或工程问题的动态行为,展示出该方法在处理复杂动力学系统时的优越性能。通过与传统方法的比较,进一步突显了精细时程积分法在处理刚性问题上的优势。 此外,本文的作者包括孔向东博士和钟万勰教授,他们分别在大连理工大学的机械工程学院和工程力学研究所工作。这篇论文得到了国家自然科学基金的支持,体现了该研究在学术界的重要地位。文章的发表不仅对计算数学和一般力学领域的研究者有重要参考价值,也为解决实际工程问题提供了新的工具和思路。
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第卷第 期
年 月
大 连 理 工 大 学 学 报
Journal of Dalian University of Technology
VolNo
Nov
文章编号
收稿日期 修回日期
基金项目 国家自然科学基金资助项目
作者简介 孔向东 女 博士 钟万勰 男 教授 博士生导师 中国科学院院士
非 线 性 动 力 系 统 刚 性 方 程 精 细 时 程 积 分 法
孔 向 东
钟 万 勰
大连理工大学 机械工程学院 辽宁 大连
大连理工大学 工程力学研究所 辽宁 大连
摘要
讨论了非线性动力系统刚性常微分方程的数值积分算法给出了非线性动力系统刚
性方程的单步精细时程积分法揭示了精细时程积分不仅具有显式积分格式而且具有绝对
稳定性和高精度的特点避免了刚性方程的计算危险性算例进一步表明了精细时程积分算
法求解刚性方程的有效性
关键词 非线性系统 动力学 常微分方程 刚性常微分方程 数值积分
中图分类号 O 文献标识码 A
刚性方程广泛存在于非线性动力系统中柔
性多体系统动力学方程是含有大的刚体运动变量
和小的弹性运动变量的强非线性刚弹耦合的刚性
方程电力系统自动控制系统的运行生态平衡
的某些问题及化学反应过程等许多实际问题中
也存在着大量的刚性方程
由于该类方程的
解中包含快变分量和慢变分量给其数值计算带
来了很大困难常用的显式积分法大都是条件稳
定的不适于求解此类方程隐式积分法虽存在绝
对稳定 的 积 分 格 式 但 也 潜 在 着 计 算 的 危 险
性
因此刚性方程的数值求解一直是计算数
学一般力学和其他领域学者们广泛关注的研究
热点和难点精细时程积分法是一种绝对稳定的
显式积分法可以用它求解刚性方程
1 刚性方程的精细时程积分法
3 4
一阶标准型微分方程组初值问题的形式是
yftyt ab y
ya y
式中t Ry y
y
y
n
T
R
n
f
f
f
f
n
T
f R
n
R
n
因为 y
yt故式 可以写成
yftyt ft
ya y
分离出一个满秩定常矩阵 HH R
n n
不满秩
时构造成满秩将上式进行等价变换则有
yHy Ft
ya y
其中Ft ftyt Hy
根据常微分方程的基本理论在 t h 时刻h
为一常数式 为
yt h expHt h y
t h
expHt h Fd
expHh xt y
t
xt Fd
t h
t
expHt Fd
expHh yt
h
expHh
Ft d
令 t
k
t
k
hh 为积分步长t
k
时刻的 yt
k
用
y
k
表示k n于是式 的离散积
分形式为
y
k
expHh y
k
h
expHh
Ft
k
d
下面给出最简单的精细时程积分单步法它是用
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