监督学习中的通用损失函数

"这篇资料是关于机器学习中的通用损失函数，由John Duchi撰写，主要讨论了在监督学习中如何选择合适的损失函数来衡量预测与真实值之间的差距，包括线性回归、二分类（如逻辑回归）和多分类问题中的损失函数设计。" 在监督学习中，我们通常会经历三个关键步骤：选择问题的表示方式、定义损失函数以及最小化损失。这些步骤在各种学习任务中都具有普遍性。资料中提到了几种不同的损失函数，用于处理不同类型的预测任务。 首先，对于输入数据x（n维向量）和目标变量y（来自特定空间Y）的线性回归问题，我们的目标是找到一个参数向量θ，使得预测值θTx尽可能接近实际的y。在这里，Y通常是实数集R。线性回归的损失函数通常采用均方误差（Mean Squared Error, MSE），其形式为L(z,y) = 1/2 * (z - y)^2，其中z代表预测值，y是实际值。通过最小化这个损失函数，我们可以找到最佳的参数θ。 其次，对于二分类问题，例如逻辑回归，目标变量y可能取值为{-1, 1}，表示两个类别。逻辑回归使用的是对数损失函数，也称为交叉熵损失，公式为L(z,y) = log(1 + e^(-y*z))。对数损失函数在处理概率预测时特别有用，因为它可以将预测的连续值映射到(0,1)之间，与概率相吻合。 再者，对于多分类问题，我们可以有k个不同的类别，目标变量y取值为{1, 2, ..., k}。在这种情况下，我们会有一个参数矩阵Θ，包含k个不同的θ向量，每个对应一类。多分类问题中常用的损失函数是多类交叉熵损失，它扩展了二分类交叉熵的思想，考虑所有类别的概率预测。 选择正确的损失函数对于优化模型性能至关重要。损失函数的选择应根据问题的特性进行，例如，线性回归倾向于最小化平方误差，而分类问题则通常使用对数损失或交叉熵损失。通过优化这些损失函数，我们可以训练出能够有效拟合数据并做出准确预测的模型。在实际应用中，还可以根据需求考虑正则化等技术来防止过拟合，进一步提升模型的泛化能力。