一元线性拟合与最小二乘法在纤维强度研究中的应用

"这篇资料主要讨论了一元线性拟合的方法，特别是在科学计算软件MATLAB中的应用。课程由中南大学材料科学与工程学院的唐建国主讲，内容包括函数逼近理论，如傅里叶逼近，以及不同类型的拟合方法，如最小二乘法拟合和非线性拟合。在实际案例中，分析了纤维强度与拉伸倍数之间的关系，通过24个数据点展示了如何寻找最佳线性拟合模型。" 在"一元线性拟合"中，目标是找到一条直线来最佳地近似一组给定的数据点。在这个例子中，数据描述了纤维的强度（y）与其拉伸倍数（x）的关系。拟合函数的形式通常被设定为 \( y = \beta_1 x + \beta_0 \)，其中 \( \beta_1 \) 和 \( \beta_0 \) 是待定参数，分别代表斜率和截距。理想情况下，这些参数应使得所有数据点到直线的距离之和最小，这在数学上称为最小二乘法。 最小二乘法是一种广泛使用的拟合技术，其基本思想是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合参数。对于24个数据点，我们会有21个线性方程，因为每个数据点都会对应一个残差（数据点的实际值与预测值之差），这些方程通常构成一个超定系统，即方程数量多于未知数。在这种情况下，可以使用正规方程或迭代方法（如梯度下降）来求解 \( \beta_1 \) 和 \( \beta_0 \)。 MATLAB作为一种强大的科学计算工具，内置了多种拟合函数，可以方便地进行线性、多项式、非线性等多种类型的拟合。对于一元线性拟合，可以使用`polyfit`函数，输入数据点的坐标，它会返回拟合的系数。同时，`plot`函数可以绘制拟合曲线，以便可视化数据和拟合效果。 然而，插值和拟合之间存在关键区别。插值的目标是找到一个函数，使该函数在每个数据点处的值都精确等于观测值，这可能导致对噪声的放大，尤其是在使用高次多项式插值时。因此，拟合更适合于捕捉数据的总体趋势，而插值则更注重细节再现。 这个资料深入介绍了函数逼近和拟合的概念，强调了在处理实际数据时选择合适拟合方法的重要性，特别是当数据包含误差时。通过实例展示了如何在MATLAB中实施一元线性拟合，并解释了为何拟合优于插值的原因。