分数布朗运动与期权定价：Ornstein-Uhlenbeck模型研究

"分数跳一扩散环境下欧式期权定价的Ornstein-Uhlenbeck模型* (2009年)" 在金融数学中，期权定价是一个关键问题，尤其在复杂的金融市场环境中。1973年，Black-Scholes模型的提出开创了期权定价的新纪元，但该模型基于连续时间的几何布朗运动，未能充分反映实际市场中的跳跃现象和历史依赖性。针对这些问题，这篇2009年的论文探讨了分数布朗运动和复合泊松过程驱动的随机微分方程在股票价格建模中的应用。 分数布朗运动（Fractional Brownian Motion, fBm）引入了长记忆性，使得模型能够更好地描述股票价格的历史依赖性。同时，复合泊松过程考虑了价格的跳跃行为，这在现实市场中是常见现象，如突发事件导致的股价突然变化。论文构建了一个分数跳-扩散Ornstein-Uhlenbeck模型，Ornstein-Uhlenbeck过程通常用于表示均值回复效应，即价格倾向于向其长期平均值回归。 在Ornstein-Uhlenbeck模型中，股票价格不再简单地随机游走，而是受到自身历史价格的影响，并且可能经历突发的跳跃。通过使用实际概率测度，论文解决了在分数布朗运动环境下定价期权的难题，这在传统方法中可能是不直观或不可行的。此外，论文运用公平保费原理，将期权定价转化为确定合理保险费用的问题，这种方法在完备和不完备市场中都适用。 论文的主要贡献在于得到了欧式看涨期权的解析表达式，这是在考虑分数布朗运动和跳跃因素后的定价公式，从而扩展了Black-Scholes模型的适用范围。这个解析表达式对于理解和计算期权价值具有实际意义，因为它考虑了市场波动的更多细节，使定价更接近真实市场情况。 论文还指出，传统模型假设股票的预期收益率恒定，但实际数据表明，预期收益率是波动的。因此，模型中引入了指数 Ornstein-Uhlenbeck过程来反映这种变动，使模型更加灵活和真实。这样的改进对于风险管理、投资决策以及金融产品的定价具有深远影响。 这篇论文通过结合分数布朗运动、复合泊松过程和Ornstein-Uhlenbeck模型，为欧式期权定价提供了新的理论框架，为金融市场的复杂性提供了一种更精确的量化工具。这种方法不仅丰富了金融数学的理论研究，也为实际的金融市场操作提供了更具现实性的定价依据。