随机过程习题解答：概率密度与函数探讨

该文档是一份关于随机过程的习题答案，涵盖了随机过程中的关键概念和理论应用。以下是部分内容的详细解析： 2.1 题目涉及的是一个线性组合的随机过程X(t)，其中X(t) = Vt + Z，V是标准正态分布N(0,1)的随机变量，Z是常数。由于V的性质，X(t)也是一个正态分布，其期望值和方差可以轻易计算出来。X(t)的一维概率密度函数为标准正态分布，形式为f(x;μ,σ²)，其中μ = b（Z的值）, σ² = t²。均值函数mx(t) = E[X(t)] = b，而相关函数Rx(s, t) = E[X(s)X(t)] = st + b²，体现了随机过程的统计特性。 2.2 在第二个问题中，随机变量Y的密度函数为f(y)，定义了随机过程X(t) = e^(-Y/t)，其中t > 0。通过随机变量函数的分布变换法则，可以找到X(t)的概率密度函数为f(x|t) = f(y|t) * |∂y/∂x|，即f(x|t) = f(y) * t/x，对于均值函数和相关函数的计算，分别利用指数函数的性质和随机变量独立性的性质。 在第四个部分，涉及的是马尔可夫链的证明。给定一个随机过程序列{Xn}, 其中Xn+1 = Xn - C * Yn，通过条件独立性和递推关系，证明了序列{Xn}是马尔可夫链。关键在于验证无后效性，即当前状态Xn只依赖于前一步的状态Xn-1，与更早的步骤无关，即P{Xn+1 = k|Xn, Xn-1, ..., X1} = P{Xn+1 = k|Xn}。 这份文档提供了随机过程的基础习题解答，包括正态随机过程的密度函数、期望和相关性，以及如何运用随机变量函数的性质和马尔可夫链的定义来分析和解决问题。这对于学习和理解随机过程的基本理论和应用非常重要。