Matlab实现拟牛顿法：优化算法解析

"拟牛顿算法的Matlab实现" 拟牛顿算法是一种优化技术，它在解决非线性最小化问题时，模仿牛顿法的思路，但避免了直接计算和存储目标函数的Hesse矩阵，从而减少了计算复杂性和对二阶导数的依赖。在牛顿法中，Hesse矩阵提供了函数的局部曲率信息，用于计算下降方向，但是当问题规模较大或Hesse矩阵难以计算时，牛顿法的效率会显著降低。拟牛顿算法通过构建Hesse矩阵的近似来克服这些问题。 在Matlab中实现拟牛顿算法，可以按照以下步骤进行： 1. 初始化：首先，定义初始迭代点`x0`，并设定一个允许的误差阈值`error`。初始化一个单位矩阵`G0`作为Hesse矩阵的近似，并计算初始梯度`initial_gradient`。 2. 主循环：在每次迭代中，计算搜索方向`search_direction`，通常为负梯度方向。然后，使用黄金分割法（如代码中的`golden_search`函数）找到最优步长`best_step`，以确定下一次迭代的点`x_1`。 3. 更新Hesse矩阵近似：计算当前点与前一点的差`ox`和新的梯度`og`。使用Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) 或 DFP等公式更新Hesse矩阵的近似`G1`。 4. 如果达到迭代次数限制或误差小于设定阈值，算法终止。否则，继续迭代，计算新的搜索方向并更新迭代点。 5. 特殊情况处理：对于多变量问题，当更新Hesse矩阵时，可能会出现一些特殊情况，例如当迭代次数等于变量数量时，可能需要直接计算新方向而不使用近似Hesse矩阵。 在上述代码中，可以看到函数`quasi_Newton`实现了拟牛顿算法的基本框架，包括计算初始梯度、搜索方向的确定、步长优化以及Hesse矩阵近似的更新。其中，`gradient_my`函数用于计算目标函数的梯度，`golden_search`函数执行黄金分割搜索以找到最佳步长。 拟牛顿算法在Matlab中的实现结合了数值优化的理论和编程技巧，能够有效地处理那些不便于直接计算Hesse矩阵的非线性优化问题，同时保持快速的收敛特性。