数字信号处理习题详解：周期序列与Z变换

"该资源是关于《数字信号处理》课程的课后习题答案，由吴镇杨提供，内容详尽。主要涉及序列的周期性判断、波形绘制、DTFT（离散时间傅里叶变换）计算以及Z变换的相关问题。" 在数字信号处理领域，理解并掌握序列的特性至关重要。题目首先探讨了序列的周期性。例如，正弦序列是一个周期序列，其周期长度可以通过观察波形得出。在判断序列是否为周期序列时，需要检查序列元素之间的关系，如果存在一个常数使得序列重复，那么该序列就是周期的，且这个常数即为周期长度。 接着，题目通过具体例子说明如何确定序列的周期长度。例如，对于序列 (1) 和 (2)，可以通过寻找满足序列重复的整数N来确定周期，这通常涉及到求两个数的最小公倍数。这一步骤需要对数论中的有理数和整除概念有一定了解。 在绘制序列波形部分，如序列 x(n) = 3δ(n+3) + 2δ(n+1) - 4δ(n-1) + 2δ(n-2)，波形的绘制可以帮助直观理解序列的变化，这对于分析序列的性质非常有用。 DTFT（离散时间傅里叶变换）是数字信号处理中的核心工具之一，用于将时域信号转换到频域进行分析。题目展示了如何利用DTFT来求解x(n-n0)的变换，其中n0是正整数。DTFT的计算通常涉及复指数函数的乘积，需要熟悉复数运算和傅里叶变换的性质。 最后，Z变换是另一个重要的数学工具，用于分析离散时间序列的稳定性。题目给出了求特定序列Z变换的过程，包括利用Z变换的性质简化计算，如序列x(n) = n[u(n)]的情况。计算Z变换通常涉及幂级数的展开和求和，以及分析收敛域和零极点分布，这对于理解序列的长期行为和稳定性至关重要。 这些习题涵盖了数字信号处理的基础概念，包括序列周期性、波形分析、离散时间傅里叶变换以及Z变换的计算，这些都是学习数字信号处理时需要掌握的关键知识点。通过解决这些问题，学生能够深化对数字信号处理理论的理解，并提升实际应用能力。