平稳过程与马尔可夫链：随机现象的不变性分析

平稳过程实例在工程随机过程的第三、四章中占据重要地位，它们描述的是那些随机现象的主要影响因素不随时间变化的过程。例如，无线电设备中的热噪声电压，其产生是由于电路中电子的热运动；连续测量飞机飞行速度的误差，受到仪器震动、电磁波干扰和气候因素的影响；以及纺纱厂生产的棉纱直径的波动，源于纺纱机运行、棉条不匀和温湿度变化等。 马尔可夫过程作为一类重要的随机过程，在多个领域如物理、生物学、公用事业等广泛应用。A.A.马尔可夫在1906年首次研究了这类过程，因此得名。根据参数集T和状态空间E的离散性，马尔可夫过程被分为四类： 1. 参数连续、状态离散的马尔可夫链，也称为连续的马尔可夫链或纯不连续马氏过程； 2. 参数和状态都连续的马尔科夫过程，即连续马氏过程； 3. 参数和状态都离散的马尔可夫链（马氏链），它是本课程的主要研究对象； 4. 参数离散、状态连续的马尔可夫过程，称为马氏序列。 马尔可夫链是特别关注的一种类型，它具有以下特点： - 定义上，随机过程{X(t), t∈T}必须满足时间离散且状态离散，即T={0, 1, 2, ...}，E={0, 1, 2, ...}。 - 对于任意的时刻和状态转换，一步转移概率矩阵 P_{ij} 表示从状态i到状态j的概率，它满足概率性质。 - 齐次马尔可夫链是指在任意时间步长内，转移概率与时间间隔无关，只依赖当前状态和下一状态。 高阶转移概率和C-K方程是马尔可夫链分析的关键概念，前者描述的是在多步转移时的状态转移概率，后者是关于概率分布的递推关系。在实际应用中，马尔可夫链被用于建模许多动态系统，如人口动态、通信网络中的信道状态等，因为它们能够捕捉到系统随时间演变的依赖性，但这种依赖仅限于当前状态。 总结来说，平稳过程实例和马尔可夫过程在工程随机过程中扮演着核心角色，通过理解它们的定义、性质和应用，可以帮助我们更好地理解和处理许多实际问题中的随机性。