MATLAB最小二乘拟合与多项式插值教程

"MATLAB教程第四章讲解了拟合与插值技术，主要涉及数据拟合的概念、最小二乘法和多项式拟合。" 在MATLAB中，拟合与插值是数据分析和建模的重要部分。本教程第四章专注于这个主题，首先介绍了数据拟合的基本概念，即给定一组离散的点(xi, yi)，目标是找到一个函数F(x)使得该函数在某种准则下最接近这些数据点。通常，这个准则采用最小二乘法，即寻找使所有数据点到函数F(x)的垂直距离平方和最小的函数。 最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过构造一个由m个线性无关的基本拟合函数构成的线性组合来逼近数据，其中m小于数据点的数量n。基本拟合函数可以是多项式、指数、对数或其他连续函数。函数形式一般写作F(x) = c0 + c1f1(x) + c2f2(x) + ... + cmfm(x)，其中ci是待定系数，fi(x)是基本函数。最小二乘拟合的目标是最小化残差平方和，即所有数据点yi与F(xi)之差的平方和。 MATLAB提供了内置函数`polyfit`来进行多项式拟合。该函数的语法为`a=polyfit(x,y,n)`，其中x和y是需要拟合的数据，n是拟合多项式的次数，返回的a是一个向量，包含了拟合多项式的系数。例如，如果n=2，那么拟合的多项式形式为y = a0 + a1*x + a2*x^2。拟合多项式在任意点x处的值可以通过`polyval(a,x)`计算。 此外，`polyfit`可以与`polytool`函数结合使用，`polytool`提供了一个交互式的界面，方便用户可视化拟合结果，调整拟合参数，并评估拟合质量。拟合质量的一个重要指标是决定系数R^2，它反映了数据点与拟合曲线的吻合程度，R^2接近1意味着拟合效果好。 在实际应用中，例如通信公司铺设河底光缆的情景，可能会遇到河底地形测量的数据，通过拟合这些数据可以预测不同位置的水深，从而帮助规划光缆的路径。在这种情况下，可以利用MATLAB的拟合功能来处理水深数据，找到最佳的拟合曲线，以便更准确地了解河底的地形变化。