向量与矩阵基础：点积与叉积在图形学中的应用

"本资源主要介绍了向量的点积与叉积在计算机图形学中的应用，包括它们的定义、性质以及在多边形方向和凸凹性判断中的作用。此外，还简要提及了矩阵的基本概念，如加法、数乘、乘法以及转置和逆矩阵的概念。" 在计算机图形学中，向量是表示空间位置和方向的基础工具。向量具有大小（长度）和方向两个特性。给定两个三维向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)，它们的长度可以通过欧几里得距离公式计算。向量的单位化是指将向量除以其长度，使其变为长度为1的单位向量。向量的和是将它们对应分量相加得到的新向量。 向量的点积是两个向量之间的重要运算，表示它们之间的夹角余弦值。点积的计算公式是V1·V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2，其中θ是两向量之间的夹角。点积满足分配律、交换律和结合律。当两个向量的点积为0时，它们互相垂直。点积在计算机图形学中用于判断线段或平面间的相对位置，以及计算角度。 向量的叉积则不满足交换律和结合律，但满足分配律。叉积结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量，并且大小等于原来两向量长度乘积与它们夹角的正弦。叉积在判断向量是否平行、多边形的方向以及检测多边形的凸凹性等方面有着重要作用。 矩阵是另一种重要的数学工具，在图形学中用于表示变换，如平移、旋转和缩放。矩阵是有序的元素集合，可以进行加法、数乘和乘法运算。矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。矩阵的转置是将矩阵的行变列、列变行得到的新矩阵。逆矩阵是对于方阵A，如果存在一个矩阵A^-1，使得AA^-1 = A^-1A = I（单位矩阵），那么A^-1是A的逆矩阵，用于解决线性方程组和进行几何变换的逆操作。 总结来说，向量的点积和叉积以及矩阵运算在计算机图形学中扮演着至关重要的角色，它们是理解和实现图形变换、碰撞检测、光照模型等核心概念的基础。深入理解这些数学原理对于提升图形学编程能力至关重要。