"2020--2021学年线性代数期末试卷A卷答案合并1及解析"

2020-2021学年第一学期线性代数期末考试试卷A卷的参考答案如下： 一、(1) B (2) A (3) B (4) B 二、(1) 3-t (2) 2 (3) 6 (4) 1 三、(12 分) 设3阶方阵A，B满足AB-BA=E，其中E为单位矩阵，要求证明矩阵A-B可逆，并求出当\[B=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]时矩阵A的解。 解： (1) 首先，根据题意有\[AB-BA=E\]，即\[A(B-E)=B\]，所以\[A^{-1}=B\]，即\[A-B\]可逆。 (2) 当\[B=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]时，根据\[A-B=A-B\]，解得\[A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]。 四、(13 分) 求解线性方程组\[12a+3b=5\]和\[a+2b=3\]的a，b的取值范围。 解： 将第一个方程乘以2并与第二个方程相减，得\[9b=-1\]，解得\[b=-\frac{1}{9}\]，代入第一个方程得\[a=\frac{37}{9}\]。因此，线性方程组的解为\[a=\frac{37}{9}\]，\[b=-\frac{1}{9}\]。 五、(12 分) 已知向量组\[(1,0,1), (2,1,0), (0,1,2)\]，求该向量组的线性相关性。 解： 将该向量组写成矩阵形式\[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]，计算行列式为\[|A|=4\neq 0\]，即该向量组线性无关。