线性系统理论：能控性与能达性判据详解

"时不变系统的能控性和能达性判据是线性系统理论中的核心概念，该主题主要针对离散时间线性时不变系统进行深入探讨。在分析这类系统时，两个关键性质——能控性和能达性——至关重要。 能达性是指系统能够通过外部输入驱动其状态变量达到任意指定的状态。对于离散时间线性系统，系统完全能达的充分必要条件是存在某个时刻\( l > 0 \)，使得格兰姆矩阵（Gramian Matrix）非奇异。格兰姆矩阵在这里扮演了衡量系统能达性的关键角色，它的非奇异性意味着系统具有足够的自由度来影响状态变量的变化。 能控性则是指系统可以通过适当的输入来控制其状态，使其按照预设的方式变化。如果系统矩阵\( G \)非奇异，那么系统完全能控的充分必要条件也是存在某个时刻\( l > 0 \)，使得格兰姆矩阵非奇异。然而，当系统矩阵\( G \)奇异时，即使格兰姆矩阵非奇异，也不能直接断言系统完全能控，因为这仅是充分条件而非必要条件。 这些判断准则基于线性系统的数学模型，通常采用状态空间表示法，包括系统矩阵\( A \)、输入矩阵\( B \)和输出矩阵\( C \)。掌握这些理论对自动化领域的硕士研究生来说是必不可少的，因为它为后续的控制理论学习奠定了基础，如稳定性分析、反馈设计等。 线性系统理论的学习涉及矩阵理论和系统理论的深入理解，参考书籍广泛，包括日本的《自动控制中的矩阵理论》、中国的《线性系统理论的代数基础》和《线性系统理论与设计》等。该理论的发展源于五十年代卡尔曼的工作，尤其是状态空间模型的发展，它促进了线性系统理论的整合和学科化，成为了控制理论、网络理论、通信理论以及一般系统理论的基石。 在我国，自1979年起，各大院校开始为硕士研究生开设线性系统理论课程，强调通过抽象思维和逻辑推理能力，运用数学工具来解决实际控制问题。课程内容涵盖线性系统的状态描述、运动分析、能控性和能观测性分析、稳定性研究以及时间域和复频率域综合等多个方面，旨在全面培养学生的专业素养。"